Преимущество использования логарифма в том, что он позволяет работать с более обозримыми числами, но есть и более важная причина. Представьте, что я спрашиваю вас, сколько информации вам понадобится для описания одной частной конфигурации орёл-решка в наборе из 1000 монет. Простейший ответ состоит в составлении списка — орёл, орёл, решка, орёл, решка, решка…, который описывает расположение каждой из 1000 монет. Конечно же, отвечу я, это даст мне полную информацию об этой конфигурации, но вопрос состоял не в этом. Я спрашивал, сколько информации содержится в этом списке.
Тут вы начнёте раздумывать. Чем на самом деле является информация и для чего она нужна? Вы даёте прямой и простой ответ. Информация отвечает на вопросы. Годы исследований по физике, математике и компьютерным технологиям сделали этот ответ точным. Эти исследования установили, что наиболее полезная мера содержания информации — это число различных «да или нет» вопросов, на которые у этой информации есть ответ. В примере с монетами есть 1000 таких вопросов: орёл у первого доллара? Да. Орёл для второго доллара? Да. Орёл для третьего доллара? Нет. Орёл для четвёртого доллара? Нет. И так далее. Элемент данных, который может содержать ответ на «да или нет» вопрос, называется битом — привычный для компьютерного века термин, являющийся сокращением от английского выражения binary digit, двоичный символ, означающий 0 или 1, о котором можно думать как о численном представлении ответов да или нет. Таким образом, конфигурации орёл-решка из 1000 монет содержат 1000 бит информации. Эквивалентным образом, если вы встанете на макроскопическую точку зрения Оскара и сосредоточитесь только на случайном расположении всех монет в целом, не обращая внимания на «микроскопические» детали орёл или решка, то информация, «скрытая» в этих монетах, составляет 1000 бит.
Отметим, что значение энтропии и количество скрытой информации равны. И это не случайно. Число возможных выпадений орёл-решка равно числу возможных ответов на 1000 вопросов — (да, да, нет, нет, да…) или (да, нет, да, да, нет…) или (нет, да, нет, нет, нет…) и так далее, а именно 2. При определении энтропии как логарифма числа таких конфигураций — 1000 в нашем случае — энтропия равна числу «да или нет» вопросов для любой из таких последовательностей ответов.
Мы рассмотрели частный пример с 1000 монетами, но установленная связь между энтропией и информацией имеет совершенно общий характер. Микроскопические детали любой системы содержат информацию, которая скрыта только при рассмотрении макроскопических, совокупных свойств. Например, вы знаете температуру, давление и объём контейнера с паром, но известно ли вам, ударялась ли молекула HO о верхний правый угол этого контейнера? А может быть другая молекула только что ударилась о нижний левый край? Так же как с разбросанными монетами, энтропия системы равна числу «да или нет» вопросов, ответы на которые содержатся в её микроскопическом состоянии, и поэтому энтропия является мерой, скрытой в системе информации.
Энтропия, скрытая информация и чёрные дыры
Каким образом данное выше определение энтропии и его взаимосвязь со скрытой информацией применяется к чёрным дырам? Когда Хокинг разработал детальное квантово-механическое обоснование, связывающее энтропию чёрной дыры с площадью её горизонта событий, он не только дал количественное описание исходного утверждения Бекенштейна, но также создал алгоритм для его вычисления. Возьмите горизонт событий чёрной дыры, говорит Хокинг, и разбейте его на решётку, в которой сторона каждой клетки равна одной планковской длине (10 сантиметра). Хокинг математически доказал, что энтропия чёрной дыры равна числу таких клеток, которым покрывается весь горизонт событий — иными словами, это площадь поверхности чёрной дыры, измеренная в планковских единицах (клетки площадью 10 квадратного сантиметра). На языке скрытой информации всё выглядит так, как будто каждая клетка тайным образом несёт один бит, 0 или 1, что даёт ответ на один «да или нет» вопрос, описывающий какую-то характеристику чёрной дыры на микроскопическом уровне (рис. 9.2).
…
Рис. 9.2. Стивен Хокинг математически показал, что энтропия чёрной дыры равна числу клеток планковского размера, необходимых для покрытия её горизонта событий. Как будто каждая клетка несёт один бит, базовую единицу информации
Общая теория относительности Эйнштейна, а также теоремы об отсутствии волос у чёрных дыр, не учитывают квантово-механические эффекты и поэтому полностью теряют эту информацию. Задайте массу чёрной дыры, её заряд и угловой момент, говорит общая теория относительности, и вы однозначным образом определите чёрную дыру. Однако Бекенштейн и Хокинг утверждают, что это не так. Они установили, что должно существовать много разных чёрных дыр с одинаковыми макроскопическими свойствами, которые, тем не менее, отличаются на микроскопическом уровне. Как и в более привычных примерах — про монеты на полу или пар в контейнере — энтропия чёрных дыр отражает информацию, скрытую в более мелких деталях.