Однако само значение температуры чёрной дыры не столь важно. Хотя излучение, идущее от удалённых астрофизических чёрных дыр, не сможет осветить ночное небо, тот факт, что они действительно имеют температуру, что они действительно излучают, означает, что эксперты поспешили отбросить гипотезу Бекенштейна о том, что чёрные дыры действительно обладают энтропией. Хокинг великолепно справился с этой задачей. Его теоретические вычисления, определяющие температуру данной чёрной дыры и испускаемого ею излучения, дали все необходимые данные для определения количества энтропии, которую, согласно стандартным законам термодинамики, должна иметь чёрная дыра. Полученный ответ оказался пропорционален площади поверхности чёрной дыры, как и предполагал Бекенштейн.
Итак, к концу 1974 года Второй закон вновь стал законом. Открытия Бекенштейна и Хокинга выявили, что в любой ситуации полная энтропия возрастает, если при этом учитывать не только энтропию обычного вещества и излучения, но также и находящуюся внутри чёрных дыр и определяемую площадью их полной поверхности. Вместо того чтобы быть стоком для энтропии и приводить к нарушению Второго закона, чёрные дыры играют активную роль в исполнении этого закона во вселенной с постоянно увеличивающимся беспорядком.
Это заключение вызвало долгожданное облегчение. Для многих физиков Второй закон, основанный на казалось бы неоспоримых статистических рассуждениях, стал священным как практически никакой другой в науке. Его воскрешение означало, что с этим миром опять всё в порядке. Но со временем появилась небольшая, но первостепенно важная запись в бухгалтерской книге энтропии, которая показала, что вопрос о справедливости Второго закона не является самым приоритетным. Эта честь досталась задаче о месте хранения энтропии, задаче, важность которой станет очевидной, когда мы выявим глубокую связь между энтропией и центральной темой этой главы — информацией.
Энтропия и скрытая информация
До настоящего момента энтропия образно описывалась как мера беспорядка, и более количественно, как число перегруппировок компонент системы, не меняющих её совокупных макроскопических свойств. Выше это прозвучало неявно, но теперь можно сказать определённо, что энтропию можно осмыслить как измерение информационного разрыва между теми данными, которые у нас есть (общими макроскопическими свойствами), и теми данными, которых нет (конкретным устройством системы на микроскопическом уровне). Энтропия является мерой дополнительной информации, скрытой в деталях микроскопического устройства системы, которые, будь к ним доступ, позволили бы выделить эту микроуровневую конфигурацию системы на фоне всех макропроявлений.
В качестве иллюстрации представим, что Оскар навёл порядок в своей комнате, но не хватило времени убрать серебряные доллары, выигранные им в покер на прошлой неделе — тысяча монет так и осталась лежать разбросанной по полу. Даже если Оскар соберёт их потом в кучку, его взгляду предстанет хаотичный набор монет, часть из которых лежит вверх решкой, а часть вверх орлом. Если случайным образом поменять орлы на решки, а решки на орлы, то Оскар ничего не заметит — это свидетельствует о том, что тысяча собранных в кучку серебряных долларов обладает высокой энтропией. Этот пример настолько простой, что энтропию можно явно подсчитать. Для двух монет имеются четыре возможные конфигурации: (орёл, орёл), (орёл, решка), (решка, орёл), и (решка, решка) — две возможности для первого доллара умножаются на две для второго. Для трёх монет есть восемь возможных конфигураций — (орёл, орёл, орёл), (орёл, орёл, решка), (орёл, решка, орёл), (решка, орёл, орёл), (орёл, решка, решка), (решка, орёл, решка), (решка, решка, орёл), (решка, решка, решка) — возникающих из двух возможностей для первой монеты, помноженных на две для второй и помноженных на две для третьей. Для тысячи монет число возможностей вычисляется аналогично: множитель 2 для каждой монеты, и получаем число 2, равное 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376. Подавляющее большинство конфигураций орёл-решка не будут обладать особыми свойствами, поэтому они никак не будут выделены среди прочих. Однако некоторые будут выделены, если, скажем, все 1000 монет будут лежать кверху орлом или решкой, или если 999 монет будут лежать кверху орлом, или 999 кверху решкой. Но число таких необычных конфигураций настолько мало по сравнению с гигантским числом всех возможностей, что исключив их из подсчёта, вы вряд ли обнаружите какую-то разницу.
Из нашей предыдущих обсуждений следует, что число 2 задаёт энтропию монет. Для определённых целей этот вывод вполне достаточен. Однако для установления более глубокой связи между энтропией и информацией необходимо уточнить картину, описанную выше. Энтропия системы связана с числом неразличимых перегруппировок её компонентов, но, строго говоря, не равна ему. Эта взаимосвязь выражается с помощью математической операции, называемой логарифмом; не пугайтесь, если логарифм навевает дурные воспоминания о школьных уроках математики. В нашем примере с монетами это просто означает, что в качестве энтропии надо взять показатель полученного нами числа конфигураций, то есть энтропия определяется как 1000, а не 2.