Классификация Киллинга была получена с применением длинных алгебраических рассуждений, с помощью которых всю проблему удалось свести к прекраснейшей задаче из геометрии. Из гипотетических простых алгебр Ли он сумел извлечь конфигурацию точек в многомерном пространстве, известную теперь как система корней. Ровно для трех простых алгебр Ли система корней живет в двумерном пространстве. Эти корневые системы показаны на рисунке.
…
Системы корней в размерности два.
Эти диаграммы обладают высокой степенью симметрии. Они несколько похожи на узоры, которые видны в калейдоскопе, где два зеркала, расположенные под углом друг к другу, создают множественные отражения. Эта схожесть неслучайна, потому что системы корней имеют чудесные, изящные группы симметрии. Известные ныне как группы Вейля (что несправедливо, потому что изобрел их Киллинг), они представляют собой многомерные аналоги узоров, образованных отражаемыми объектами в калейдоскопе.
Структура в основе доказательства Киллинга состоит в том, что поиск всех возможных простых алгебр Ли можно вести, разбивая алгебры на симпатичные куски, аналогичные структурам, обнаруженным в su(n). Тогда классификация сводится к геометрии этих кусков с использованием их чудесных симметрий. Разобравшись с геометрией этих кусков, можно привязать результаты к задаче, которую на самом деле требовалось решить, — задаче нахождения возможных простых алгебр Ли.
Киллинг выразил это таким образом: «Корни простой системы соответствуют простой группе. Обратно, можно рассматривать корни простой группы как порожденные некоторой простой системой. Таким образом получаются простые группы. Для каждого l имеются четыре структуры, а при l = 2, 4, 6, 7, 8 к ним добавляются исключительные простые группы». Здесь слово «группа» используется как сокращение выражения «инфинитезимальная группа», что в наши дни называется алгеброй Ли, а l — размерность системы корней.
Четыре структуры, о которых говорит Киллинг, — это алгебры Ли su(n), so(2n), so(2n + 1) и sp(2n), соответствующие семействам групп SU(n), SO(2n), SO(2n + 1) и Sp(2n) — унитарным группам, ортогональным группам в пространстве четной размерности, ортогональным группам в пространстве нечетной размерности и симплектическим группам в пространстве четной размерности.
Симплектические группы служат симметриями переменных «координата-импульс», введенных Гамильтоном в его формулировке механики, и число размерностей всегда четно, потому что переменные координата-импульс объединены в пары. Помимо этих четырех семейств Киллинг утверждал существование в точности шести других простых алгебр Ли.
Он был почти прав. В 1894 году французский геометр Эли Картан заметил, что две Киллинговы 56-мерные алгебры — это на самом деле одна и та же алгебра, рассматриваемая двумя различными способами. Это означает, что имеется только пять исключительных простых алгебр Ли, соответствующих пяти исключительным простым группам Ли: старая знакомая Киллинга G и четыре других, которые сейчас называются F, E, Е и E.
Это на редкость любопытный ответ. Бесконечные семейства в целом понятны — они связаны с различными геометриями естественных типов в произвольном числе размерностей. Но пять исключительных групп Ли, по видимости, не связаны ни с чем геометрическим, и их размерности не следуют никакому правилу. Чем выделены пространства размерностей 14, 56, 78, 133 и 248? Что стоит за этими числами? Представьте себе, что требуется перечислить все формы, которые может иметь кирпич, а ответ оказывается чем-то вроде такого:
• вытянутые параллелепипеды размеров 1, 2, 3, 4, …,
• кубы размеров 1, 2, 3, 4, …,
• плиты размеров 1, 2, 3, 4, …,
• пирамиды размеров 1, 2, 3, 4, ….
Само по себе это выглядит прекрасно, но далее список продолжается так:
• тетраэдры размера 14,
• октаэдры размера 52,
• додекаэдры размера 78,
• додекаэдры размера 133,
• додекаэдры размера 248.
И все, больше ничего нет.
Почему существуют кирпичи этих странных форм и размеров? Для чего они?
Это казалось совершенно безумным.
Настолько безумным, что Киллинга огорчал факт существования исключительных групп, и некоторое время он надеялся, что это ошибка, которую ему удастся устранить. Они нарушали элегантность его классификации. Но они в ней присутствовали, и мы начинаем в конце концов понимать почему.
Во многих отношениях эти пять исключительных групп Ли кажутся теперь гораздо более интересными, чем четыре бесконечных семейства. Они представляются важными в физике частиц, как мы увидим позже; они определенно важны и в математике. И у них есть тайное единство, до конца не проясненное, роднящее их с кватернионами Гамильтона и даже с еще более любопытным их обобщением — октонионами. Но об этом — в свое время.
За всем этим стоит ряд чудесных идей, автор которых — Киллинг. Строго говоря, в его работах содержалось несколько ошибок — некоторые доказательства на самом деле не вполне работали. Но все эти ошибки давным-давно исправлены.
Вот так обстояло дело с величайшей математической работой всех времен. А что по ее поводу думали современники Киллинга?