Ли взялся за изучение работ великих геометров, таких как немец Юлиус Плюккер и француз Жан-Виктор Понселе. От Плюккера он перенял идею геометрий, основанных не на хорошо всем знакомых точках, как у Эвклида, а на других объектах — линиях, плоскостях, окружностях. В 1869 году он на собственные средства опубликовал статью, кратко излагающую его основную идею. Подобно своим предшественникам Галуа и Абелю, он обнаружил, что его идеи слишком революционны для старой гвардии, так что обычные журналы не желали публиковать его исследования. Но Эрнст отказал своему другу в праве на уныние и поощрял его продолжать работы по геометрии. В конце концов одна из статей Ли была опубликована в престижном журнале и получила благосклонный прием.
Это принесло Ли стипендию. Теперь у него были деньги, чтобы путешествовать, посещать ведущих математиков и обсуждать с ними свои идеи. Он отправился туда, где взращивался весь цвет прусской и немецкой математики, — в Геттинген и Берлин, где беседовал с алгебраистами Леопольдом Кронеккером и Эрнстом Куммером и аналитиком Карлом Вейерштрассом. На него произвел большое впечатление подход Куммера к математике и несколько меньшее — подход Вейерштрасса.
Наиболее важная встреча, однако, состоялась в Берлине — с Феликсом Клейном, который, так случилось, учился ранее у Плюккера, которым Ли глубоко восхищался и которому стремился подражать. У Ли и Клейна было очень схожее математическое образование, но совершенно разные вкусы. Клейн, по существу, алгебраист с геометрическим уклоном, обожал работать над специальными проблемами, обладающими внутренней красотой; Ли же был аналитиком, которому импонировал широкий охват общих теорий. По иронии судьбы именно общие теории Ли дали математике некоторые из наиболее важных специальных структур, которые и были, и до сих пор остался изумительно красивыми, необычайно глубокими и по большей части алгебраическими. Открытие этих структур могло бы вообще не состояться, если бы не стремление Ли к общности. Если вы пытаетесь понять все возможные математические объекты некоторого типа и если вам это удалось, то вы неизбежно найдете среди них много объектов с необычными свойствами.
В 1870 году Ли и Клейн снова встретились в Париже. Именно там Жордан обратил Ли в дело теории групп. В то время росло осознание, что геометрия и теория групп выражают две стороны одной медали, но законченное оформление этих мыслей требовало времени. Ли и Клейн написали несколько совместных работ, пытаясь сделать связь между группами и геометрией более явной. В конце концов мысли Клейна кристаллизовались в его «эрлангенской программе» 1872 года, согласно которой геометрия и теория групп тождественны друг другу.
На современном языке эта идея звучит столь просто, что, казалось бы, она должна была всегда представляться совершенно очевидной. Группа, отвечающая любой заданной геометрии, — это группа симметрий данной геометрии. Наоборот, геометрия, соответствующая какой-либо группе, доставляется любым объектом, группой симметрии которого является данная группа. Другими словами, геометрия определяется тем, что остается инвариантным под действием группы.
Например, симметрии эвклидовой геометрии — это те преобразования плоскости, которые сохраняют длины, углы, линии и окружности. Они составляют группу всех движений плоскости без деформаций. Наоборот, что-нибудь, инвариантное относительно таких движений, естественно попадает в сферу действия эвклидовой геометрии. Неэвклидовы геометрии просто используют иные группы преобразований.
Зачем же тогда трудиться, чтобы конвертировать геометрию в теорию групп? Дело в том, что это дает два разных способа думать о геометрии, а также два разных способа думать о группах. Иногда вещи легче понять одним способом, иногда другим. Две точки зрения лучше одной.
Отношения между Францией и Пруссией быстро ухудшались. Император Наполеон III рассчитывал поддержать свою падающую популярность, начав войну с Пруссией. Бисмарк отправил французам телеграмму провокационного содержания, и 19 июля 1870 года была объявлена Франко-Прусская война. Клейн — пруссак в Париже — счел за лучшее вернуться в Берлин.
Однако Ли был норвежцем и очень ценил свое пребывание в Париже, поэтому решил там остаться. Потом, правда, осознав, что Франция проигрывает войну и немецкая армия движется на Метц, он передумал: хотя он и был гражданином нейтральной страны, оставаться в потенциальной зоне боевых действий было небезопасно.
Ли решил отправиться в путешествие пешком и направил свои стопы в Италию. Ушел он, однако, недалеко; французские власти схватили его у Фонтенбло, примерно в 25 милях к юго-востоку от Парижа; при нем находилось некоторое количество документов, испещренных нечитабельными символами. Поскольку они, очевидно, представляли собой шифр и было совершенно ясно, что Ли шпионил в пользу немцев, его поместили под арест. Потребовалось вмешательство ведущего французского математика Гастона Дарбу, чтобы убедить власти в математическом содержании записок. Ли был отпущен из тюрьмы, французская армия сдалась, немцы начали осаду Парижа, а Ли снова отправился в Италию — на этот раз успешно. Оттуда он вернулся в Норвегию. По пути он случайно повстречался с Клейном, отсиживавшимся в Берлине.