Карл Луис Фердинанд фон Линдеманн родился в 1852 году в семье филолога Фердинанда Линдеманна и дочери директора школы Эмили Крузиус. Фердинанд переходил с одного места работы на другое и, в частности, побывал директором газового завода.
Как и многие студенты в Германии в конце девятнадцатого столетия, Линдеманн-младший переезжал из одного университета в другой — из Геттингена в Эрланген, оттуда в Мюнхен. В Эрлангене он защитил диссертацию по неэвклидовой геометрии под руководством Феликса Клейна. Он путешествовал за границу, в Оксфорд и Кембридж, а затем в Париж, где познакомился с Эрмитом. В 1879 году, защитив диссертацию, дающую право преподавать в высшем учебном заведении, он стал профессором в университете Фрайбурга. Четыре года спустя он перебрался в Кенигсбергский университет, где встретил свою будущую жену Элизабет Кюсснер — дочь преподавателя, игравшую в театре. Десять лет спустя он стал полным профессором в Мюнхенском университете.
В 1882 году, на полпути между поездкой в Париж и своим назначением в Кенигсберг, Линдеманн понял, как распространить метод Эрмита на доказательство трансцендентности числа ?. Именно это и принесло ему славу. Некоторые историки полагают, что Линдеманну просто повезло — что он просто случайно наткнулся на правильное обобщение блестящей идеи Эрмита. Но, как однажды заметил гольфист Гари Плеер, «чем лучше я играю, тем больше мне везет». Так же, по-видимому, обстояло дело и с Линдеманном. Если могло повезти кому-то, то почему не повезло Эрмиту? Позднее Линдеманн обратился к математической физике, занявшись исследованиями электрона. Наиболее известным из его учеников был Давид Гильберт.
Данное Линдеманном доказательство трансцендентности числа ? опиралось на метод, впервые использованный Ламбертом и развитый Эрмитом: придумать подходящий интеграл, вычислить его двумя способами и показать, что если число ? алгебраическое, то ответы не согласуются. Интеграл был очень тесно связан с тем, который использовал Эрмит, только еще более сложному. Связь между e и ? выражалась в прекрасном соотношении, открытом Эйлером. Если бы ? было алгебраическим, то e приобрело бы некоторые новые неожиданные свойства — похожие на свойства алгебраических чисел, но все же отличающиеся от них. Ядро доказательства Линдеманна относилось к числу e, а не к ?.
С появлением доказательства Линдеманна эта глава математики пришла к своему первому действительно важному выводу. Невозможность квадратуры круга оказалась не более чем побочным эффектом. Гораздо важнее для математиков было понять, почему так происходит. Теперь они могли двигаться вперед и развивать теорию трансцендентных чисел, которая сегодня представляет собой активную (и дьявольски сложную) область исследований. Даже наиболее очевидные и на вид правдоподобные гипотезы о трансцендентных числах остаются по большей части недоказанными.
Вооруженные достижениями Абеля и Галуа, мы можем вернуться к задаче о построении правильных многоугольников. Для каких чисел n можно построить правильный n-угольник циркулем и линейкой? Ответ на этот вопрос весьма необычен.
В Disquisitiones Arithmeticae Гаусс сформулировал необходимые и достаточные условия на целое число n, но доказал только их достаточность. По его утверждению, у него было доказательство, что те же условия являются и необходимыми, но, как и большая часть его результатов, оно осталось неопубликованным. Гаусс в действительности выполнил сложную часть работы, а Ванцель привел недостающие подробности в своей статье 1837 года.
Чтобы лучше понять данный Гауссом ответ, рассмотрим правильный 17-угольник. Что есть такого в числе 17, что позволяет построить правильный многоугольник с 17 сторонами? Почему это невозможно, скажем, для чисел 11 или 13? Заметим, что все эти три числа — простые. Легко показать, что если правильный n-угольник допускает построение, то можно построить правильный p-угольник для каждого простого числа p, на которое делится n. Надо просто взять каждый /-угол. Например, если взять каждую третью вершину в правильном 15-угольнике, получим правильный 5-угольник. Так что имеет смысл рассматривать простое число сторон, а затем получить полное решение, используя результаты для простых чисел.
Число 17 простое, что для начала уже неплохо. Выполненный Гауссом анализ, переформулированный в более современных терминах, основан на том факте, что решения уравнения x ? 1 = 0 образуют вершины правильного 17-угольника на комплексной плоскости. У этого уравнения имеется один очевидный корень x = 1. Остальные 16 — это корни многочлена 16-й степени, и можно показать, что этот многочлен есть x + x + x + … + x + x + 1. 17-угольник строится путем решения цепочки квадратных уравнений, а это оказывается возможным потому, что 16 есть степень числа 2: 16 = 2.
Аналогично в более общем случае аргументы того же типа показывают, что когда p — нечетное простое число, правильный p-угольник допускает построение, если и только если p ? 1 есть степень числа 2. Такие нечетные простые числа называются (простыми) числами Ферма, потому что Ферма первым взялся их исследовать. Грекам было известно о построении правильного 3-угольника и правильного 5-угольника. Заметим, что 3 ? 1 = 2 и 5 ? 1 = 4 суть степени числа 2. Результаты греков, таким образом, согласуются с критерием Гаусса, а 3 и 5 — первые два из чисел Ферма. С другой стороны, 7 ? 1 = 6, что не есть степень двойки, так что правильный 7-угольник не допускает построения циркулем и линейкой.