Среди нерешенных задач, доставшихся потомкам в наследство от греческих геометров, три приобрели вызывающую известность — задача о трисекции угла, задача об удвоении куба и задача о квадратуре круга. Даже сегодня трисекция угла и квадратура круга привлекают к себе внимание многочисленных любителей, которые, по-видимому, не вполне охватили своим умом то обстоятельство, что когда математики говорят «невозможно», то именно это и имеется в виду. Удвоение куба несколько отстает по уровню популярности.
Об этих трех задачах часто говорят как о «трех задачах Античности», но такое определение создает преувеличенное представление об их важности. Из-за него они как будто стоят в одном ряду с главнейшими загадками в истории, такими как Последняя теорема Ферма, на которую не удавалось дать ответ в течение более 350 лет. Однако отличие здесь в том, что все ясно сознавали: Последняя теорема Ферма — нерешенная задача, причем можно конкретно указать, когда именно она была впервые поставлена в математической литературе. Все математики были в курсе относительно не только самой задачи, но и предполагаемого ответа, а также относительно того, кто первым поставил этот вопрос.
Греческие задачи — иные. Их не найти у Эвклида в перечне нерешенных, требующих внимания задач. Они существовали главным образом по умолчанию, как очевидные попытки обобщить полученные ранее успешные результаты, но почему-то Эвклид предпочитал их не упоминать. Почему? Потому что никто не знал, как взяться за их решение. Приходило ли грекам на ум, что они могут вовсе не иметь решения? Если и так, то никто не поднимал по этому поводу шума. Без сомнения, таким людям как Архимед приходило в голову, что эти задачи невозможно решить, используя циркуль и линейку, поскольку он разработал альтернативные методы, однако нет никаких свидетельств, что сам по себе вопрос о возможности построения представлялся Архимеду важным.
Этот вопрос приобрел важность позднее. Отсутствие решений этих задач свидетельствовало о серьезных пробелах в достигнутом человечеством понимании геометрии и алгебры; они вошли в моду как «фольклорные» задачи, известные профессионалам через некое подобие культурного осмоса. К тому времени как было получено их решение, они приобрели ауру исторической и математической значительности. Их решение воспринималось как важнейший прорыв — в особенности это касалось квадратуры круга. И ответ во всех трех случаях был один и тот же: «невозможно». Невозможно с использованием традиционных инструментов — циркуля и линейки.
Такая ситуация может показаться достаточно негативной. На протяжении большей части жизни люди решают проблемы и преодолевают трудности с помощью самых разнообразных средств, какие только подворачиваются под руку. Если высокое здание нельзя построить из кирпича и раствора, инженеры используют стальную арматуру и железобетон. Никто не стяжал себе славы доказательством того, что кирпичи не подходят для данной стройки.
Математика устроена несколько иначе. Ограничения, присущие используемым инструментам, часто так же важны, как и успехи в их применении. Важность математического вопроса часто зависит не от ответа как такового, а от того, почему ответ оказывается правильным. Так обстояло дело и с тремя задачами Античности.
Гроза всех и вся трисекторов родился в Париже в 1814 году, а звали его Пьер Лоран Ванцель. Отец его был сначала армейским офицером, а потом профессором прикладной математики в Специальной коммерческой школе. Пьер опережал в своем развитии других детей; Адемар Жан Клод Барр де Сен-Венан, который знал Ванцеля, писал, что мальчик демонстрировал «потрясающие способности к математике — предмету, о котором он читает с огромным интересом. Вскоре он превзошел даже своего учителя, который обращался за помощью к девятилетнему Ванцелю, когда испытывал трудности при решении задач».
В 1828 году Пьер поступил в Коллеж Карла Великого. В 1831-м он был первым учеником и по французскому, и по латыни, а также показал первый результат на вступительных экзаменах как в Политехническую школу, так и на естественный факультет того, что сейчас называется Нормальной школой, — ранее такого не удавалось добиться никому. Его интересовало буквально все — математика, музыка, философия, история, и ничто не привлекало сильнее, чем жаркие, ожесточенные споры.
В 1834 году он обратился к инженерному делу, посещая занятия в Школе мостов и дорог. Но вскоре признался своим друзьям, что инженер из него выйдет «не более чем посредственный». Он решил, что на самом деле хочет преподавать математику, и оставил занятия инженерным делом. Такое резкое переключение принесло свои плоды: в 1838 году он начал читать лекции по анализу в Политехнической школе, а к 1841-му стал еще и профессором прикладной механики в своей старой инженерной школе. Сен-Венан говорит нам, что Пьер «обыкновенно работал в течение вечера, не ложась спать до поздней ночи, а затем читал, оставляя себе лишь несколько часов неспокойного сна и при этом злоупотребляя кофе и опиумом, а до своей женитьбы еще и неправильно и нерегулярно питаясь». Женился он на дочери своего бывшего учителя латыни.