Тем не менее имеется много свидетельств, что в основе своей природа прекрасна. Математик Герман Вейль, соединивший в своих исследованиях теорию групп и физику, говорил: «В своих работах я всегда пытался соединить истину с красотой, и когда мне приходилось выбрать между ними, я обычно останавливал выбор на красоте». Основатель квантовой механики Вернер Гайзенберг писал Эйнштейну: «Вы можете возразить, что, говоря о простоте и красоте, я ввожу эстетические критерии истины, и я честно признаюсь, что меня в сильной степени привлекают простота и красота математических схем, которые нам предлагает природа. Вам должно быть это знакомо — почти пугающая простота и целостность связи, которую природа неожиданно перед нами раскрывает».
Эйнштейн же полагал, что неизвестно столь много фундаментальных вещей — природа времени, источники упорядоченного поведения материи, форма вселенной, — что нам следует напоминать самим себе, сколь далеки мы от какого бы то ни было «окончательного» понимания. По мере своей полезности математическое изящество дает нам всего лишь локальные и временные истины. Тем не менее это — наилучший способ двигаться вперед.
На протяжении всей истории математика обогащалась из двух различных источников. Один — это естественный мир, а другой — абстрактный мир логической мысли. Именно комбинация этих двух источников придает математике мощь, позволяющую ей сообщать нам об устройстве вселенной. Дирак прекрасно понимал эту связь: «Математик играет в игру, где он сам изобрел правила, тогда как физик играет в игру, правила которой задаются природой, но со временем становится все более и более очевидно, что правила, которые оказываются интересными для математика, — это те же правила, что установлены природой». Чистая и прикладная математика дополняют друг друга. Они представляют собой не два противоположных полюса, а два конца единого, связного спектра мыслей.
Наш рассказ о симметрии показывает, как даже отрицательный ответ на хороший вопрос («возможно ли решить уравнение пятой степени?») может привести к глубокой и фундаментальной математике. Здесь имеет значение, почему ответ оказался отрицательным. Методы, которые это выясняют, можно использовать для решения множества других проблем — и среди них глубоких вопросов физики. Но наш рассказ также показывает, что здоровье математики зависит и от того, вдыхает ли она новую жизнь из физического мира.
Истинная сила математики лежит именно в этом замечательном слиянии человеческого чувства гармонии («красота») с физическим миром, причем оба действуют как критерий реальности («истина») и как неистощимый источник вдохновения. Нельзя решить выдвигаемые наукой задачи без новых математических идей. Однако сами по себе новые идеи, если довести их до предела, могут выродиться в бессмысленную игру. Требования науки удерживают развитие математики на той линии, где она плодотворна, а также часто подсказывают новые направления ее развития.
Если бы математика полностью зависела от внешних потребностей — была бы служанкой наук, — мы бы получали от нее то, чего и следует ожидать от служанки: она была бы угрюмой, ворчливой и медлительной. Если бы математика руководствовалась исключительно собственными интересами, мы бы получили испорченное, дурно воспитанное дитя — избалованное, эгоистичное и раздувшееся от собственной важности. Математика высшего разряда балансирует между двумя этими крайностями, сопоставляя свои собственные потребности с потребностями внешнего мира.
Отсюда и проистекает ее непостижимая эффективность. Уравновешенная личность учится на опыте и применяет полученное знание в новых обстоятельствах. Вдохновителем великих математических достижений служил реальный мир, но великая математика может выйти за пределы, установленные ее происхождением.
Неизвестный вавилонянин, открывший, как решать квадратное уравнение, и представить себе не мог, даже в самых невероятных мечтах, во что превратится его наследие три с лишним тысячи лет спустя. Никто не мог бы предположить, что вопросы о разрешимости уравнений приведут к одной из ключевых концепций в математике — концепции группы — или что группы окажутся языком, на котором описывается симметрия. Еще менее того можно было полагать, что симметрии откроют нам дверь к тайнам физического мира.
В физике польза от умения решать квадратные уравнения очень ограниченна. Пользы от умения решать уравнение пятой степени и того меньше — уже по той причине, что всякое решение по необходимости будет численным, а не аналитическим или же будет выражаться с помощью символов, специально для этой цели изобретенных и едва ли поэтому пригодных на что-либо, кроме как прикрывать проблему фиговым листком. Но понимание того, почему уравнения пятой степени не решаются, осознание ключевой роли симметрии и развитие сопутствующих идей настолько далеко, насколько возможно, — все это открыло целые области физического мира.
Процесс идет. Следствия из симметрии для физики, а на самом деле и для науки в целом, остаются в достаточной степени неисследованными. Многого мы еще не понимаем. Но что мы понимаем наверняка, так это тот факт, что группы симметрии — наш проводник через неисследованные земли, по крайней мере до тех пор, пока не появится некая более мощная концепция (уже, быть может, ожидающая своего часа в какой-нибудь безвестной диссертации).