В 1494 году Лука Пачоли свел вместе значительную часть существовавшего тогда математического знания в книге по арифметике, геометрии и пропорции. Она также включала индо-арабские числа, коммерческую арифметику, выжимки из Эвклида и тригонометрию Птолемея. Сквозной темой был элемент замысла в природе, воплощенный в пропорциях — пропорциях человеческого тела, перспективы в живописи, теории цвета.
Пачоли продолжил традицию «риторической» алгебры, используя слова, а не символы. Неизвестное было «штукой» — итальянское слово cosa, и в течение определенного периода практикующие алгебраисты были известны под именем cossist’ов. Он также использовал ряд стандартных сокращений, продолжая (но не сумев улучшить) подход, впервые намеченный Диофантом. Моррис Клайн в своем монументальном «Математическом мышлении от Античности до современности» констатирует: «Серьезное замечание по поводу математического развития арифметики и алгебры между 1200 и 1500 годами состоит в том, что книга Пачоли едва ли содержит что-либо, выходящее за рамки Liber Abbaci Леонардо Пизанского. В действительности арифметика и алгебра… основывались на книге Леонардо». В конце своей книги Пачоли замечает, что относительно решения кубического уравнения понимания ничуть не больше, чем относительно квадратуры круга. Но такому положению дел скоро предстояло измениться.
Первое по-настоящему существенное продвижение произошло в городе Болонья примерно в конце первой трети шестнадцатого столетия. Внимания на это событие поначалу не обратили.
Джироламо Кардано был побочным сыном миланского юриста Фацио Кардано и молодой вдовы по имени Кьяра Микериа, у которой было еще трое детей от первого брака. Он родился в 1501 году в Павии — городе, входившем в герцогство Миланское. Когда к Милану подобралась чума, беременную Кьяру убедили уехать в деревню, где и родился Джироламо. Все трое ее старших детей, оставшиеся в городе, умерли от чумы.
Согласно автобиографии Джироламо, «отец мой носил багряную накидку — одеяние, нетипичное для нашего сообщества; его никогда не видели без маленькой черной шапочки… К пятидесяти пяти годам он лишился всех зубов. Он был хорошо знаком с работами Эвклида; надо сказать, что плечи его были сгорблены от усердных занятий… Мать мою легко было вывести из себя; она была скора на память и сообразительность и была тучной и набожной женщиной. Скоропалительность отличала обоих моих родителей».
Хотя Фацио и был юристом по профессии, он был достаточно искушен в математике, чтобы консультировать по геометрии Леонардо да Винчи. Он преподавал геометрию в университете в Павии и в благотворительном учреждении Пьятти в Милане. И еще он учил математике и астрологии своего незаконного сына Джироламо:
…
В раннем детстве отец обучил меня основам арифметики, и примерно тогда же он приобщил меня к таинствам; откуда он приобрел эти познания, мне неизвестно. Вскоре он обучил меня началам арабской астрологии… А когда мне исполнилось двенадцать, он преподал мне первые шесть книг Эвклида.
У ребенка наблюдались проблемы со здоровьем; попытка вовлечь его в семейное дело успеха не принесла. Джироламо сумел убедить находившегося в сомнениях отца позволить ему изучать медицину в университете Павии, но отец предпочитал право.
В 1494 году Карл VIII Французский вторгся в Италию, и последовавшая война продолжалась, утихая и вновь разгораясь, пятьдесят лет. Обострение военных действий привело к закрытию университета в Павии, и Джироламо перебрался в Падую, чтобы продолжать занятия. Судя по всему, он был одним из лучших студентов, и когда Фацио умер, Джироламо начал кампанию с целью стать ректором университета. Хотя многие не любили его за склонность высказываться без обиняков, он был избран с перевесом в один голос.
Тогда-то он и растратил по мелочам полученное им наследство и обратился к азартным играм, которые превратились в пагубную привычку на всю оставшуюся часть его неспокойной жизни. И не только это:
…
В очень ранний период моей жизни я начал серьезно посвящать себя занятиям фехтованием всякого рода и путем упорных упражнений достиг некоторых успехов даже среди наиболее дерзких… По ночам, даже в нарушение распоряжений герцога, я вооружался и отправлялся рыскать по городу, в котором жил… Лицо мое скрывал капюшон из черной шерсти, а еще я надевал туфли из овчины… Я часто бродил всю ночь, пока не брезжил рассвет, с меня же капал пот от напряжения, с которым я исполнял серенады на своих музыкальных инструментах.
Даже подумать страшно.
В 1525 году, после присуждения ему медицинской степени, Джироламо попытался вступить в Коллегию врачей в Милане, но его не приняли — формально из-за незаконного происхождения, но на самом деле главным образом из-за печальной известности, которую он приобрел в качестве человека, лишенного такта. Так что вместо того, чтобы стать членом престижной коллегии, Джироламо устроился врачом в соседнюю деревушку Сакко. Это обеспечивало ему небольшой доход, но дело шло вяло. Он женился на Лучии Бандарини — дочери капитана милиции — и перебрался ближе к Милану в надежде увеличить свой доход, чтобы содержать семью, однако Коллегия снова его отвергла. Не в силах следовать по пути законной карьеры врача, он обратился к азартным играм, но даже его математические познания не помогли восстановить свое состояние: