Эти события стимулировали занятия Нильса математикой. Ближе к концу 1823 года он доказал невозможность решения уравнения пятой степени — причем в отличие от прошедшего чуть мимо цели выстрела Руффини он не промахнулся. Доказательство, стратегия которого была схожа с использованной Руффини, но тактика совершеннее, не содержало пробелов. Исходно Нильс не знал о работе Руффини. Впоследствии он наверняка должен был с ней познакомиться, поскольку упоминает о ее неполноте. Но даже Нильс не смог точно указать то место, где в доказательстве Руффини таилась дыра, — и это несмотря на то, что его метод оказался ровно тем, что требовалось для заделки этой дыры.
Нильс и Крелли отпраздновали помолвку. Чтобы жениться на своей возлюбленной, Нильсу надо было получить работу, а это означало, что требовалось признание его талантов со стороны ведущих европейских математиков. Опубликовать свою теорию было бы недостаточно: медведя следовало ловить в его берлоге. А для этого требовалась некоторая сумма денег на путешествия.
После длительных переговоров университет Христиании согласился предоставить Нильсу достаточно средств, чтобы он смог отправиться с научным визитом в Париж, где ему предстояло встретиться с ведущими математиками мирового уровня. Готовясь к поездке, он решил, что ему понадобятся печатные экземпляры его лучшей работы. Он полагал, что доказательство невозможности решения уравнения пятой степени произведет впечатление на французских коллег. Но, к сожалению, все его работы были изданы по-норвежски, в малоизвестном журнале. Поэтому он решил, что необходимо частным образом издать свою работу по теории уравнений в переводе на французский. Заглавие ее звучало как «Мемуар по алгебраическим уравнениям, в котором доказана невозможность решения общего уравнения пятой степени». Чтобы сэкономить на расходах по изданию, Нильс оставил лишь выжимку из самого существенного в своем методе, так что печатный вариант уложился всего лишь в шесть страниц. Это было куда меньше пятисот, написанных Руффини, но в математике бывают случаи, когда краткость скорее затемняет идеи. Целый ряд логических деталей — которые в этой области играли определяющую роль — пришлось оставить за бортом. Работа представляла собой набросок, а не доказательство.
Нильс открыл ее словами «Математики в целом занимались задачей нахождения общего метода для решения алгебраических уравнений, и некоторые из них предпринимали попытки доказать, невозможность такого решения. Поэтому я смею надеяться, что математики благосклонно встретят эту статью, которая ставит своей целью заполнить пробел, существующий в теории уравнений». Надежда оказалась бесплодной. Хотя ему удалось посетить некоторых математиков в Париже и заручиться их согласием взглянуть на его статью, аргументация в ней была настолько сжатой, что большинство, вероятно, нашли ее непригодной для понимания. Гаусс не выбросил свой экземпляр, но так и не прочел его — когда статью нашли после его смерти, страницы в ней оставались неразрезанными.
Позднее, быть может осознав свою ошибку, Абель опубликовал два развернутых варианта своего доказательства, приведя в них больше подробностей. Узнав к этому времени о работах Руффини, он писал: «Первая попытка доказательства невозможности алгебраического решения общего уравнения была предложена математиком Руффини; но его мемуар настолько труден для понимания, что судить о верности его аргументами нелегко. Мне представляется, что его рассуждения не всегда удовлетворительны». Но, как и все остальные, он не указал, почему именно.
Руффини и Абель излагали ход своей мысли на формальном математическом языке своего времени, который не очень хорошо подходил для требовавшегося им стиля мышления. Математика имела тогда дело главным образом с конкретными, частными идеями, тогда как ключ к теории уравнений состоит в переводе рассуждений в более общие термины — те, которые относятся к структурам и процессам, а не к отдельным вещам. Таким образом, их идеи были сложны для современников по той причине, что выходили за рамки математического языка. Но даже для современных математиков использование терминологии того периода затруднило бы понимание.
К счастью, основные моменты их анализа можно ухватить, используя архитектурную метафору. Один из способов представить себе почти-доказательство Руффини, как и полное доказательство Абеля, состоит в том, чтобы представить себе строительство башни.
В этой башне по одной комнате на этаже, причем лестница связывает ее с комнатой этажом выше. В каждой комнате имеется большой мешок. Если открыть мешок, оттуда разлетаются миллионы алгебраических формул, заполняя весь этаж. На первый взгляд у этих формул нет никакой специальной структуры, и кажется, что их случайным образом понадергали из разных алгебраических текстов. Некоторые формулы короткие, некоторые длинные; некоторые простые, некоторые исключительно сложные. При более тщательном рассмотрении, однако, у них обнаруживаются родственные черты. Формулы в каждом мешке имеют массу общих свойств. У формул из мешка этажом выше другие общие свойства. Чем выше по башне мы поднимаемся, тем более сложными становятся формулы в мешках.