В 1845 году Гаусс написал докладную записку по поводу пенсионного фонда для вдов геттингенских профессоров, в котором проанализировал возможное влияние резкого увеличения числа членов фонда. Он вкладывал деньги в правительственные фонды и железнодорожные акции и составил порядочное состояние.
После 1850 года, страдая от проблем с сердцем, Гаусс сократил объем работы. Для нашего рассказа наиболее важным событием этого времени была Habilitation, диссертация его ученика Георга Бернхарда Римана. (В немецкой академической системе эта диссертация — вторая степень после кандидатской.) Риман обобщил работу Гаусса о поверхностях в многомерных пространствах, которые он назвал многообразиями. В частности, он расширил концепцию метрики и нашел формулу для кривизны многообразия. По существу, он создал теорию искривленных многомерных пространств. Позднее эта идея оказалась основополагающей для работ Эйнштейна по гравитации.
Гаусс, за которым теперь постоянно присматривал врач, посетил публичную лекцию Римана по этому вопросу и был глубоко впечатлен. По мере того как его здоровье ухудшалось, он проводил все больше времени в постели, но продолжал писать письма, читать и управлять своим капиталом. В начале 1855 года Гаусс мирно скончался во сне. Это был величайший в мире математический ум из всех известных.
Глава 6
Расстроенный врач и больной гений
Первый значительный шаг вперед после «Великого искусства» Кардано был сделан примерно в середине восемнадцатого столетия. Хотя математики Возрождения научились решать уравнения третьей и четвертой степеней, их методы, по существу, сводились к ряду трюков. Каждый такой трюк успешно работал, но, как представлялось, скорее из-за серии совпадений, нежели по какой-либо систематической причине. Изучить и окончательно обосновать эту причину около 1770 года удалось двум математикам — Жозефу-Луи Лагранжу, уроженцу Италии, всегда считавшему себя французом, и Александру-Теофилу Вандермонду — французу вне всякого сомнения.
Вандермонд родился в Париже в 1735 году. Отец хотел, чтобы он стал музыкантом, и Вандермонд достиг совершенства в игре на скрипке и ступил на путь музыкальной карьеры, но в 1770 году заинтересовался математикой. Его первая математическая публикация была посвящена симметричным функциям корней многочлена — алгебраическим формулам типа суммы всех корней, которые не меняются, если корни поменять местами. Наиболее оригинальной частью его работы было доказательство, что уравнение x ? 1 = 0, связанное с правильным п-угольником, можно решить в радикалах, если n меньше или равно 10. (На самом деле оно разрешимо в радикалах для любого n.) Великий французский аналитик Огюстен-Луи Коши позднее ссылался на Вандермонда как на первого, кто осознал, что к задаче решения уравнений в радикалах можно применить симметрические функции.
В руках Лагранжа эта идея стала отправной точкой для атаки на все алгебраические уравнения.
Лагранж родился в итальянском городе Турине и был наречен Джузеппе Лодовико Лагранджиа. Семья имела французские корни: прадед сначала был капитаном французской кавалерии, а потом переехал в Италию и поступил на службу к герцогу Савойскому. Еще в ранней молодости Джузеппе начал писать свою фамилию как «Лагранж», в качестве имени при этом используя Лодовико или Луиджи. Его отец был казначеем в Министерстве общественных работ и укреплений в Турине; мать Тереса Гроссо была дочерью врача. Лагранж был первым из их одиннадцати детей, лишь двоим из которых довелось дожить до зрелых лет.
Семья относилась к высшим слоям итальянского общества, однако в результате некоторых неудачных вложений Лагранжи оказались практически разорены. Было решено, что молодой Лагранж будет изучать право, и он поступил в Туринский университет. Ему нравились право и классические предметы, а математические занятия, на которых в основном преподавалась эвклидова геометрия, наводили на юношу тоску. Однако попавшаяся ему как-то раз книга по алгебраическим методам в оптике, написанная английским астрономом Эдмондом Галлеем, самым решительным образом переменила его мнение о математике. Лагранж направился по пути, который и стал определяющим в его ранних исследованиях, — применение математики к механике и в особенности к небесной механике.
Он женился на своей кузине Виттории Конти. «Моя жена, приходящаяся мне кузиной (и даже жившая в течение долгого времени в нашем семействе), — прекрасная хозяйка и совершенно не требовательна», — писал он своему другу, также математику, Жану ле Рон д’Аламберу. Он также доверительно сообщал ему, что вообще не собирается иметь детей — так оно и вышло.
Лагранж занял должность в Берлине, написал много научных статей и несколько раз становился обладателем ежегодной премии Французской академии: в 1772 году он получил награду вместе с Эйлером, в 1774-м был удостоен ее за работу по динамике Луны, а в 1780-м — за работу о влиянии планет на орбиты комет. Другим его пристрастием была теория чисел. В 1770 году он доказал теорему, представляющую собой классику жанра, — теорему о четырех квадратах, согласно которой всякое положительное целое число представимо в виде суммы четырех квадратов. Например, 7 = 2 + 1 + 1 + 1, 8 = 2 + 2 + 0 + 0 и так далее.