Но по мере развития систем обозначений стало кристально ясно, что единица — ровно в той же мере часть системы вычислений, что и ее старшие братья. Таким образом, единица стала числом — правда, специальным, очень маленьким. В некотором смысле оно оказалось самым важным из всех, поскольку именно там, в единице, числа начинались. Прибавлением друг к другу большого числа единиц можно получить все остальное — и в течение некоторого времени обозначения буквально выражали эту идею, например, число семь записывалось в виде семи черточек — как |||||||.
Много позднее индийские математики поняли, что есть даже более важное число, предшествующее единице. На самом деле числа начинались не там. Они начинались в нуле, который теперь изображается символом 0. Еще позднее оказалось полезным ввести в обиход отрицательные числа — числа, меньшие чем ничто. Таким образом, с присоединением отрицательных, человечество изобрело систему целых чисел: …, ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3, …. Но этим дело не закончилось.
Проблема с целыми числами состоит в том, что они не позволяют представить целый ряд полезных величин. Фермер, продающий зерно, например, может пожелать указать количество пшеницы как нечто между 1 мешком и 2 мешками. Если это будет примерно посередине между этими двумя мерами, то желаемое количество мешков равно 1/. Или несколько меньше — 1/, или, наоборот, больше — 1/. Таким образом (с использованием самых разнообразных систем для их обозначения) были изобретены дроби. Дроби интерполируют между целыми числами.
Достаточно сложные дроби могут интерполировать с исключительной точностью, в чем мы уже могли убедиться, рассматривал вавилонскую арифметику. Крепла уверенность, что любую величину можно представить в виде дроби.
Но тут на сцену выходят Пифагор и носящая его имя теорема. Немедленное следствие этой теоремы состоит в том что длина диагонали единичного квадрата представляет собой число, квадрат которого равен в точности 2. Иными словами, диагональ имеет длину, равную квадратному корню из 2. Такое число обязано существовать, поскольку каждый может нарисовать квадрат, а у него, разумеется, есть диагональ, а она, без сомнения, имеет длину. Но, как осознал на свою беду Гиппас, чем бы ни был квадратный корень из 2, он не может точно выражаться в виде дроби. Это число иррациональное. Таким образом, потребовалось еще больше чисел для заполнения невидимых дыр между всеми возможными дробями.
В конце концов этот процесс вроде бы достиг конечной остановки. Греки предпочитали числовым схемам геометрию, но в 1585 году Вильгельм Молчаливый назначил фламандского математика и инженера Симона Стевина из Брюгге учителем своего сына Морица Оранского. Стевин занимал должности инспектора плотин, начальника снабжения армии, а также министра финансов. Эти должности, в особенности две последние, убедили его в важности ведения бухгалтерского учета, и он позаимствовал системы, использовавшиеся в итальянских конторах. В поисках такого способа представлять дроби, который соединял бы в себе гибкость индо-арабских позиционных обозначений и высокую точность вавилонских шестидесятеричных дробей, Стевин предложил аналог вавилонской системы, но с основанием 10 вместо основания 60, — то есть десятичные дроби.
Стевин опубликовал очерк, описывающий его новую систему обозначений. Он в достаточной мере осознавал проблемы маркетинга и включил утверждение, что его идеи успешно прошли «тщательные испытания людьми практической закалки, которые нашли их настолько полезными, что они добровольно отказались от своих собственных усовершенствований в пользу данного». Далее он утверждал, что его десятичная система «учит нас, что все вычисления, которые встречаются при ведении бизнеса, можно выполнить в одних только целых числах, не прибегая к помощи дробей». В обозначениях Стевина не использовалась современная десятичная запятая, нотам было нечто близкое. Там, где мы пишем «3,1416», Стевин писал бы 3
1
4
1
6
. Символ
указывал на целое число,
— на десятые,
— на сотые и т.д. По мере того как люди привыкли к этой системе, они перестали писать
,
и т.д., оставив только знак
, который мутировал в десятичную запятую.
На самом деле с использованием десятичных дробей записать квадратный корень из двух нельзя — если только в ваши планы не входит продолжать эту запись без конца. Но равным образом нельзя записать в виде десятичной дроби и /. Близким к / значением будет 0,33, но еще ближе 0,333, а сверх того лучше 0,3333 и так далее. Точное представление существует — тут мы употребим это слово новым для себя способом, — только если рассматривать бесконечную последовательность троек. Но если такое приемлемо, то можно в принципе точно записать и квадратный корень из двух. В том, как там устроены десятичные знаки, не видно никакого порядка, но, взяв достаточно большое количество этих знаков, можно получить число, квадрат которого настолько близок к числу 2, насколько пожелаете. Идея в том, что если взять все десятичные знаки, получится число, квадрат которого равен точно 2.
После принятия «бесконечных десятичных дробей» система вещественных чисел стала полной. В ней оказалось возможным представить любое число, которое может потребоваться бизнесмену или математику, с любой желаемой точностью. Всякое измерение, которое только можно себе вообразить, давало результат, выразимый десятичной дробью. Если требовалось записать отрицательные числа, десятичная система с легкостью справлялась с этой задачей. Нужды ни в каких числах какого-либо другого сорта не возникало. Не осталось никаких пробелов, которые надо было бы заполнить.