Следствия из аксиом Эвклида — длинная, тщательно отобранная цепочка логических построений — простираются необычайно далеко. Например, он доказывает — применяя логику, которая в его дни считалась безукоризненной, — что, коль скоро вы принимаете его аксиомы, вы неизбежно должны заключить следующее.
• Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.
• Существует бесконечно много простых чисел.
• Существуют иррациональные числа — такие, которые не выражаются в виде дроби. Примером является квадратный корень из двух.
• Имеется ровно пять правильных тел: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
• Любой угол можно точно разделить на две равные части, используя только циркуль и линейку.
• Можно построить правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6 , 8, 10 и 12 сторонами, используя только циркуль и линейку.
Я выразил эти «теоремы», как называются любые обладающие доказательством математические утверждения, на современном языке. Язык Эвклида отличался довольно сильно: Эвклид не работал непосредственно с числами. Все, что мы интерпретируем как свойства чисел, формулируется у него в терминах длин, площадей и объемов.
Содержание «Начал» разбивается на две основные категории. Имеются теоремы, говорящие нам, что некое утверждение истинно. И имеются конструкции, говорящие нам, как что-либо можно сделать.
Типичная и заслуженно знаменитая теорема — это Предложение 47 Книги I «Начал», широко известное как теорема Пифагора. Она гласит, что самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике находится в определенной связи с двумя другими. Но без дополнительных усилий или интерпретации она не дает метода для достижения какой-либо цели.
…
Теорема Пифагора.
Конструкция, существенная для нашего рассказа, содержится в Предложении 9 из Книги I, где Эвклид решает задачу «бисекции» (деления пополам) углов. Эвклидов метод деления угла пополам прост, но остроумен, с учетом ограниченных возможностей, доступных на той ранней стадии развития. Если задан угол (1), образованный двумя отрезками прямых, поместите циркуль в точку пересечения этих отрезков (2) и проведите окружность, которая пересечет отрезки в двух точках, по одной на каждом (черные точки). Теперь проведите (3) две окружности того же радиуса с центрами в полученных точках. Они пересекутся в двух точках (отмечена только одна из них), после чего через них проводится (4) искомая биссектриса (показана точками).
…
Как разделить угол пополам циркулем и линейкой.
Повторяя это построение, можно разделить угол на четыре равные части, на восемь, на шестнадцать — число частей удваивается на каждом шаге, так что мы получаем степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и так далее.
Как я уже говорил, в «Началах» основной аспект, имеющий отношение к нашему рассказу, состоит не в том, что там содержится, а в том, чего там нет. Эвклид не дал никаких методов для решения следующих задач.
• Деление угла точно на три равные части (трисекция угла).
• Построение правильного многоугольника с 7 сторонами.
• Построение отрезка, длина которого равна длине окружности заданного радиуса (выпрямление окружности).
• Построение квадрата, площадь которого равна площади круга заданного радиуса (квадратура круга).
• Построение куба, объем которого ровно вдвое больше объема заданного куба (удвоение куба).
Иногда говорится, что сами греки воспринимали эти упущения как недостатки в монументальном труде Эвклида и посвятили много сил их исправлению. Историки математики нашли очень мало свидетельств в поддержку этих утверждений. В действительности греки были в состоянии решить все перечисленные выше задачи, но для этого им приходилось использовать методы, находившиеся за пределами установленных Эвклидом рамок. Все эвклидовы построения выполнялись циркулем и линейкой без делений. Греческие геометры могли бы выполнить трисекцию угла, используя специальные кривые, называемые коническими сечениями; они могли бы квадрировать круг, используя другую специальную кривую, называемую квадратрисой. С другой стороны, они, кажется, не понимали, что если можно выполнить трисекцию угла, то можно построить и правильный семиугольник (да, я имею в виду именно семиугольник; девятиугольник построить несложно, а вот для семиугольника потребуется очень хитрое построение). На самом деле они, похоже, вообще не изучали следствий, вытекающих из трисекции угла. Душа их, по-видимому, не лежала к таким исследованиям.
Позднейшие математики воспринимали то, что было опущено у Эвклида, в ином свете. Вместо поисков новых средств для решения этих задач они озаботились вопросом о том, чего можно достичь, используя ограниченные средства, выбранные Эвклидом, — циркуль и линейку (причем без всякого жульничества с нанесенными на нее делениями: греки знали, что «прием вставки» со скользящей линейкой с делениями позволяет эффективно и точно разделить угол на три части; один такой метод был изобретен Архимедом). Нахождение того, что можно сделать, а чего нельзя, а также доказательство этого заняли долгое время. К концу 1800-х годов стало окончательно ясно, что ни одну из приведенных выше задач нельзя решить, используя только циркуль и линейку.