Он стал членом Французской академии наук и перебрался в Париж, где и провел всю оставшуюся жизнь. Он полагал, что разумно подчиняться законам страны проживания даже в случае личного с ними несогласия, — точка зрения, которая, возможно, помогла ему избежать участи многих других интеллектуалов во время Французской революции. В 1788 году Лагранж опубликовал свой шедевр — «Аналитическую механику», где переосмыслил механику как ветвь анализа. Он гордился тем, что в его объемистой книге вообще нет рисунков; в его глазах это делало изложение логически более строгим.
В 1792 году Лагранж женился второй раз, на дочери астронома Рене-Франсуазе-Аделаиде ле Моннье. В августе 1793 года, во время Террора, Академию закрыли; единственной ее частью, не прекратившей функционировать, была Комиссия мер и весов. От работы были отстранены многие ведущие ученые — химик Антуан Лавуазье, физик Шарль Огюстен Кулон, а также Пьер Симон Лаплас. Лагранж стал новым председателем Комиссии мер и весов.
К этому моменту у него стали возникать проблемы из-за его итальянского происхождения. Революционное правительство провело закон, требовавший ареста каждого иностранца, родившегося во враждебной стране. Лавуазье, тогда еще сохранявший свое влияние, добился, чтобы Лагранжа исключили из списков тех, кто подпадал под действие нового закона. Вскоре революционный трибунал приговорил Лавуазье к смерти, и на следующий же день его гильотинировали. Лагранж заметил, что «только мгновение потребовалось, чтобы пала его голова, но сотни лет не хватит, чтобы появилась другая такая».
При Наполеоне Лагранж получил целый ряд почестей: он стал кавалером Ордена почетного легиона, в годы Империи, в 1808 году, ему был пожалован титул графа, а в 1813-м он стал кавалером Большого Креста Императорского Ордена Содружества. Через неделю после получения Большого Креста он скончался.
В 1770 году — в год открытия теоремы о четырех квадратах — Лагранж взялся за написание обширного трактата по теории уравнений, говоря при этом: «В данном мемуаре я предполагаю исследовать различные методы, найденные к настоящему моменту для алгебраического решения уравнений, свести их к общим принципам и объяснить a priori, почему эти методы приводят к успеху в степени три и четыре, но непригодны для старших степеней». Как выразился Жан-Пьер Тиньоль в своей книге «Теория Галуа алгебраических уравнений», Лагранж «явным образом намеревался определить не только как, но и почему эти методы работают».
Лагранж добился гораздо более глубокого понимания методов эпохи Возрождения, чем сами их изобретатели; он даже доказал, что найденную им общую схему, объяснявшую их успехи, нельзя распространить на степени пять и выше. Тем не менее он не смог сделать следующего шага — выяснить, возможно ли какое-нибудь решение в этих случаях. Вместо этого он сообщает нам, что его результаты «окажутся полезными для тех, кто захочет заняться решением уравнений высших степеней, поскольку снабдят их различными взглядами на этот вопрос и, главное, предохранят от большого числа ложных шагов и попыток».
Лагранж обратил внимание, что все специальные приемы, которые использовали Кардано, Тарталья и другие, основывались на одном методе. Вместо того чтобы непосредственно искать корни заданных уравнений, они пытались свести задачу к решению некоторого вспомогательного уравнения, корни которого связаны с исходными, однако отличаются от них.
Вспомогательное уравнение в случае кубического уравнения было более простым — квадратным. Эту «разрешающую квадрику» можно было решить вавилонскими методами; решение же кубического уравнения затем восстанавливалось путем извлечения кубического корня. Именно такова структура формулы Кардано. Для уравнения четвертой степени вспомогательное уравнение тоже было более простым — кубическим. Эту «разрешающую кубику» можно было решить методом Кардано; решение же уравнения четвертой степени затем восстанавливалось извлечением корня четвертой степени — другими словами, кратным извлечением квадратного корня. Именно такова структура формулы Феррари.
Можно представить себе растущее воодушевление Лагранжа. Если подобная закономерность сохранится, то уравнение пятой степени будет иметь «разрешающую квадрику», которую можно будет решить методом Феррари, а затем извлечь корень пятой степени. И процесс может продолжиться: уравнение шестой степени будет иметь разрешающую квинтику, которую можно будет решить с помощью того, что получит известность как метод Лагранжа. Он сможет решить уравнения любой степени.
Суровая реальность вернула его на землю. Разрешающее уравнение для уравнения пятой степени оказалось не квартикой, а уравнением более высокой степени — шестой. Тот самый метод, который позволил упростить кубику и квартику, привел к усложнению квинтики.
Достичь прогресса в математике посредством замены сложной задачи на еще более сложную невозможно. Объединенный метод Лагранжа отказал на уравнении пятой степени. Тем не менее Лагранж не доказал, что уравнение пятой степени неразрешимо, так как могли существовать и какие-то другие методы.