Мешок на первом этаже содержит все формулы, которые можно построить, взяв коэффициенты уравнения и складывая их друг с другом, вычитая, умножая, деля — снова и снова, сколько угодно раз. В мире алгебраических формул, коль скоро вы задались коэффициентами, все эти «безобидные» комбинации прилагаются, можно сказать, практически бесплатно.
Чтобы забраться по лестнице на этаж выше, надо взять какую-нибудь формулу из мешка и использовать ее для построения радикала. Это может быть квадратный корень, кубический корень, корень пятой степени — какой угодно. Но формулу, корень которой берется, необходимо вынимать из того мешка. Всегда оказывается возможным взять корень p-й степени, где p — простое число, потому что более сложные корни можно построить из простых, и это простое наблюдение оказывается на удивление полезным.
Итак, вы выбрали какой-то корень; теперь, поднявшись на второй этаж, вы находите второй мешок, содержимое которого исходно совпадает с содержимым мешка на первом этаже. Но вы открываете мешок и швыряете в него новый радикал.
Формулы размножаются. Когда Ной причалил свой ковчег к горе Арарат, он повелел всем созданиям плодиться и размножаться. Формулы в мешке делают даже нечто большее: они не только множатся, но и складываются, вычитаются и делятся. Через несколько секунд лихорадочной активности из мешка на втором этаже начинают вылезать всевозможные «безобидные» комбинации, построенные из коэффициентов уравнения и нашего нового радикала. По сравнению с мешком на первом этаже здесь имеется много новых формул — но все они похожи друг на друга, поскольку каждая включает в качестве новой компоненты наш радикал.
Будем действовать точно так же, чтобы подняться на третий этаж. Снова выбираем некоторую формулу из нового мешка — строго одну — и строим новый радикал, извлекая корень некоторой (простой) степени из этой формулы. Тащим новый радикал по лестнице на третий этаж, засовываем его в мешок и ждем, пока формулы исполнят свои брачные игры.
И так далее. Каждый новый этаж означает новый радикал, и в новом мешке появляются новые формулы. На каждом шаге все эти формулы строятся из коэффициентов, к которым добавлен какой-либо радикал из числа тех, что были построены ранее.
Наконец мы на верхнем этаже башни. Миссия выполнена, исходное уравнение решено в радикалах — при условии, что, ощупав мешок на чердаке, мы найдем там по крайней мере один из корней нашего уравнения.
Подобных башен может быть много, в зависимости от выбираемых на каждом шаге формул и радикалов. Большинство обманывают наши ожидания и там не найти и намека на искомый корень. Но если миссия выполнима, если некоторая формула, построенная из последовательных радикалов, дает решение, то на чердаке в соответствующей башне действительно найдется корень. Ибо формула в точности говорит нам, как получить этот корень, последовательно добавляя радикалы. Другими словами, она сообщает нам, как именно построить башню.
В терминах таких башен можно интерпретировать классические решения уравнений третьей и четвертой степеней и даже вавилонское решение квадратных уравнений. Начнем с кубического уравнения, поскольку оно уже достаточно сложно, чтобы быть репрезентативным, но еще достаточно просто, чтобы оставаться наглядным.
В башне Кардано только три этажа.
Мешок на первом этаже содержит коэффициенты и все их комбинации.
Лестница, ведущая на второй этаж, требует извлечения квадратного корня. Весьма конкретного квадратного корня из вполне определенной формулы из первого мешка. Мешок на втором этаже содержит все комбинации этого квадратного корня и коэффициентов.
Лестница на третий этаж — на чердак — требует кубического корня, причем снова вполне конкретного. Это кубический корень из определенной формулы, включающей коэффициенты и тот квадратный корень, который уже использовался, чтобы подняться на один этаж. Содержит ли мешок на чердаке какой-либо корень нашего кубического уравнения? Да, и доказательство состоит в формуле Кардано. Подъем на башню увенчался успехом.
Башня Феррари выше — в ней пять этажей.
На первом этаже, как всегда, в мешке содержатся просто комбинации, составленные из коэффициентов. Подъем на второй этаж осуществляется с помощью образования безобидных комбинаций и последующего извлечения подходящего квадратного корня. На третий этаж ведут взятие безобидных комбинаций и, далее, извлечение подходящего кубического корня. На четвертый — составление безобидных комбинаций и, далее, извлечение подходящего квадратного корня.
…
Решение квадрики, кубики и квартики.
Наконец мы добираемся до пятого этажа — чердака, — составляя безобидные комбинации и беря затем подходящий квадратный корень.
И вот — мешок на чердаке действительно содержит то, что мы искали, — некий корень уравнения четвертой степени. Формула Феррари снабжает нас инструкциями по построению именно нужной башни.
Вавилонская башня, которая решает уравнение второй степени, также подходит под эту метафору. Но она оказывается укороченной башней всего с двумя этажами. Мешок на первом этаже содержит просто комбинации коэффициентов. Единственный, тщательно выбранный квадратный корень ведет на один этаж выше — уже на чердак. Внутри этого мешка имеется корень квадратного уравнения — в действительности оба его корня. Об этом нам говорит вавилонская процедура решения квадратных уравнений — формула, которой нас учили в школе.