В 1872 году Ли защитил диссертацию. Норвежская академическая среда была настолько потрясена его работами, что университет Христиании в том же году специально для него создал новую должность. Со своим бывшим учителем Людвигом Силовом они взялись за издание собрания сочинений Абеля. В 1874 году Ли женился на Анне Бирх; всего у них было трое детей.
Теперь Ли сосредоточился на конкретной задаче, представлявшейся ему заслуживающей внимания. В математике имеется много видов уравнений, но особенно важны два. Первый — это алгебраические уравнения типа тех, что так эффективно изучали Абель и Галуа. Второй вид — это дифференциальные уравнения, введенные Ньютоном в его работе о законах природы. Такие уравнения включают в себя концепции из анализа и оперируют не самими физическими величинами, а тем, как эти величины изменяются с течением времени. Более точно — они задают скорость изменения величин. Например, наиболее важный закон движения Ньютона гласит, что ускорение тела пропорционально полной силе, действующей на него. Ускорение есть скорость изменения скорости. Вместо того чтобы непосредственно сообщить нам, какова скорость тела, закон говорит, какова скорость изменения скорости. Аналогичным образом другое уравнение, выведенное Ньютоном для объяснения того, как изменяется температура тела при остывании, говорит, что скорость изменения температуры пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды.
Наиболее важные уравнения в физике — те, что имеют дело с потоками жидкости, действием гравитации, движением планет, переносом тепла, распространением волн, действием магнетизма, распространением света и звука — это дифференциальные уравнения. Как впервые понял Ньютон, закономерности природы, как правило, принимают более простой вид и их легче сформулировать, если смотреть на скорости изменения величин, а не на сами интересующие нас величины.
Ли задал себе фундаментальный вопрос. Имеется ли для дифференциальных уравнений теория, аналогичная теории Галуа для алгебраических уравнений? Есть ли способ установить, когда дифференциальное уравнение можно решить заданными методами?
Ключевую роль здесь снова сыграла симметрия. Ли осознал, что некоторые из его результатов по геометрии можно было реинтерпретировать в терминах дифференциальных уравнений. К заданному решению конкретного дифференциального уравнения Ли мог применить преобразование (из конкретной группы) и доказать, что результат также является решением. Из одного решения получается много, причем все они связаны группой. Другими словами, группа состоит из симметрий данного дифференциального уравнения.
Здесь содержался прозрачный намек, что нечто прекрасное ожидало своего открытия. Вспомним о применениях симметрий, которые Галуа реализовал для алгебраических уравнений! А теперь представим себе нечто подобное для куда более важного класса дифференциальных уравнений!
Все группы, которые изучал Галуа, были конечными. Это значит, что число преобразований из группы — некоторое целое число. Группа всех перестановок на пяти корнях уравнения пятой степени, например, содержит 120 элементов. Однако многие разумные группы бесконечны, и среди них — группы симметрий дифференциальных уравнений.
Одна распространенная бесконечная группа представляет собой группу симметрии окружности; она содержит преобразования, которые поворачивают окружность на любой — какой угодно — угол. Поскольку имеется бесконечно много возможных углов, группа вращений окружности бесконечна. Обозначение для этой группы — SO(2). Здесь O означает «ортогональный» — это указывает, что преобразования являются движениями плоскости без деформаций, a S означает «специальный» и указывает на вращения, которые не переворачивают плоскость.
Окружности имеют, кроме того, бесконечно много осей отражательной симметрии. Если отразить окружность относительно любого диаметра, то получится та же самая окружность. Добавление отражений приводит к большей группе O(2).
…
Окружность обладает бесконечным числом вращательных симметрий (слева) и бесконечным числом отражательных симметрий (справа).
Группы SO(2) и O(2) бесконечны, но это некоторый ручной вид бесконечности. Различные вращения можно задавать, указывая одно число — угол вращения. Когда два вращения выполняются одно за другим, соответствующие углы просто складываются. Ли назвал поведение такого типа «непрерывным», и в его терминологии SO(2) — непрерывная группа. А из-за того, что для указания угла требуется только одно число, группа SO(2) одномерна. То же имеет место и для O(2), поэтому все, что нам требуется, — это некоторый способ отличать отражения от вращений, а с этой задачей в алгебре справляются знаки плюс и минус.
Группа SO(2) представляет собой простейший пример группы Ли. Группа Ли соединяет в себе структуры двух типов: это и группа, и одновременно многообразие — некоторое многомерное пространство. В случае SO(2) многообразием является окружность, а групповая операция на двух точках окружности сводится к сложению соответствующих углов.
Ли открыл прекрасное свойство групп Ли: групповую структуру можно «линеаризовать». Это означает, что лежащее в основе группы искривленное многообразие можно заменить плоским эвклидовым пространством. Это касательное к многообразию пространство. Как это выглядит для SO(2), показано на рисунке.