Эвклид и его предшественники должны были много размышлять над вопросом, какие из правильных многоугольников можно построить, поскольку Эвклид дает способы построения для многих из них. Вопрос этот оказался очень увлекательным и вовсе не простым. Греки знали, как построить правильные многоугольники со следующим числом сторон:
…
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20.
Нам теперь известно, что их нельзя построить, когда число сторон равно
…
7, 9, 11, 13, 14, 18, 19.
Как можно заметить, неучтенным в указанном интервале осталось только одно число — 17. История о 17-угольнике будет рассказана отдельно; она важна по причинам, выходящим за рамки чисто математических.
Когда речь идет о геометрии, нет никакой альтернативы рисованию на листе бумаги с использованием реального циркуля и настоящей линейки. Работа с ними позволяет ощутить единство всего этого предмета. Я хочу показать вам мою любимую конструкцию — построение правильного шестиугольника. Я почерпнул ее из книги, которую в конце 1950-х годов дал мне мой дядя, — книга называлась Man Must Measure («Человек должен измерять») и была совершенно замечательной.
Фиксируем раз и навсегда раствор циркуля, так что все наши окружности будут одного же размера. (1) Начертим окружность. (2) Выберем точку на ней и проведем окружность с центром в этой точке. Она пересекает исходную окружность в двух новых точках, (3) Проведем окружности с центрами в этих точках и получим два новых пересечения. (4) Проведем окружности с центрами в этих точках; обе они пройдут через одну и ту же новую точку пересечения. Полученные шесть точек можно теперь соединить в правильный шестиугольник. Из эстетических соображений приятно (но математически не обязательно) дополнить картину. (5) Проведем окружность с центром в шестой точке. Тогда шесть окружностей пересекутся в центре исходной, образуя нечто вроде цветка.
…
Как построить правильный шестиугольник.
Эвклид использовал очень похожий метод — более простой, хотя и не такой симпатичный — и доказал, что он работает. Его можно найти в Предложении 15 Книги IV.
Глава 3
Персидский поэт
Встань! Бросил камень в чашу тьмы Восток!
В путь, караваны звезд! Мрак изнемог…
И ловит башню гордую султана
Охотник-Солнце в огненный силок.
Для большинства из нас имя Омара Хайяма неразрывно связано с его исполненными иронии четверостишиями «Рубай», а конкретнее — с их изящным переводом на английский, сделанным Эдвардом Фитцджеральдом. Однако историки математики полагают, что у Хайяма есть еще больше оснований для притязаний на славу. Он занимает видное место среди персидских и арабских математиков, подобравших брошенный греками факел и продолживших развитие новой математики после того, как знание в Западной Европе погрузилось в темные века, а ученые доказательству теорем предпочли теологические споры.
К числу великих достижений Хайяма относится решение кубических уравнений, выполненное в рамках почтенных методов греческой геометрии. Его методы по необходимости вышли за рамки циркуля и линейки, которыми молчаливо ограничивалась геометрия Эвклида, поскольку эти средства просто не пригодны для решения данной задачи — обстоятельство, о котором греки сильно подозревали, но не могли доказать из-за отсутствия необходимого подхода, лежащего в сфере алгебры, а не геометрии. Впрочем, методы Хайяма выходят за рамки циркуля и линейки не слишком сильно. Он использовал специальные кривые, называемые «коническими сечениями» — по той причине, что их можно построить, пересекая конус плоскостью.
Народная мудрость, касающаяся правил написания научно-популярной литературы, гласит: каждая формула уменьшает продажи книги вдвое. Если так, то это очень плохая новость, потому что понять основные мотивы в данной книге никак не получится, не взглянув на несколько уравнений. Следующая глава, например, посвящена открытиям, сделанным математиками эпохи Возрождения, — открытиям формул для решения любого кубического уравнения или уравнения четвертой степени. Я могу обойтись без формулы для решения уравнений четвертой степени, но вот взглянуть на формулу для кубического уравнения нам так или иначе придется. В противном случае мы вынуждены будем ограничиться словами типа «умножаем некоторые числа на некоторые другие числа и к этому прибавляем некоторые третьи числа, а потом извлекаем квадратный корень, затем прибавляем другое число и из того, что получилось, извлекаем кубический корень; далее делаем то же самое снова, но со слегка другими числами; в конце концов складываем два результата. А, забыл! — иногда еще надо будет делить».
Некоторые авторы бросили вызов этой народной мудрости и даже написали книги про уравнения. Видимо, они следуют известному совету из области шоу-бизнеса: «Если у вас деревянная нога, помашите ею». Так вот, в некотором смысле эта книга — об уравнениях; но подобно тому, как можно написать книгу о горах, не требуя при этом, чтобы читатели взбирались на гору, также можно написать книгу об уравнениях, не требуя, чтобы читатели их решали. Тем не менее читатели книги о горах вряд ли поймут ее, если никогда не видели гор, так что для нас и в самом деле будет полезным взглянуть на специально отобранные уравнения.