Чтобы двигаться дальше, нам надо подружиться с одной идеей, восходящей к эпохе Возрождения — но только не к математикам, а к художникам того времени.
В те дни математика и искусства были довольно близки друг к другу — не только в архитектуре, но и в живописи. Художники времен Возрождения открыли, как применить геометрию к перспективе. Они нашли геометрические правила для изображения на бумаге таким образом, чтобы объекты и пейзажи выглядели как трехмерные. При этом они изобрели новый и удивительно красивый вид геометрии.
Работы более ранних художников часто не выглядят, на наш взгляд, реалистичными. Даже такой художник, как Джотто (Амброджио Бондоне), мог создавать работы почти фотографического качества, но при более внимательном рассмотрении оказывалось, что перспектива в них не совсем последовательна. Лишь Филиппо Брунелески в 1425 году сформулировал последовательный математический метод получения точной перспективы и передал свое знание другим художникам. В 1435 году вышла первая книга по данному предмету — Delia Pittura Леоне Альберти.
Метод был доведен до совершенства в живописи Пьеро делла Франческа, который был также замечательным математиком. Пьеро написал три книги по математике перспективы. И нельзя не упомянуть Леонардо да Винчи, книга которого Trattato della Pittura начинается с утверждения «Пусть никто, не являющийся математиком, не читает мои работы», что перекликалось с лозунгом «Да не войдет сюда ни один не знающий геометрии», который, согласно легенде, помещался над входом в Платоновскую Академию в Древней Греции.
Суть перспективы состоит в понятии «проекции», согласно которой трехмерный пейзаж переносится на плоский лист бумаги таким способом, что (в идеале) каждая точка пейзажа соединяется с глазом наблюдателя, после чего надо определить, где эта линия пересекает лист бумаги. Ключевая идея состоит в том, что проекции искажают формы некоторыми способами, которых не допускает Эвклид. В частности, проекция может превратить параллельные линии в пересекающиеся.
Мы наблюдаем такой эффект каждый день. Стоя на мосту и глядя на длинную прямую полосу уходящей вдаль железной дороги или автотрассы, мы видим, что прямые линии сходятся и, как кажется, пересекаются на горизонте. В действительности прямые остаются на одном и том же расстоянии друг от друга, но из-за перспективы воспринимаемое нами расстояние уменьшается по мере того, как прямая уходит от нас. В математической идеализации бесконечно длинные параллельные прямые на плоскости также пересекаются, если их подходящим образом спроектировать. Но место, где они пересекаются, не является образом какой бы то ни было точки в плоскости — оно и не может им быть, поскольку на плоскости прямые не пересекаются. Это кажущийся «горизонт», в направлении к которому продолжаются прямые и плоскость. С точки зрения самой плоскости горизонт бесконечно удален, но его проекция — полностью осмысленная прямая, проходящая через середину картины.
Эта прямая известна как «прямая в бесконечности». Как и квадратный корень из минус единицы, это фикция, но исключительно полезная фикция. Возникающая таким образом геометрия называется проективной геометрией, и, в духе эрлангенской программы Клейна, это геометрия свойств, которые не меняются при проекциях. Проективную геометрию использует каждый художник, который рисует изображения с перспективой, с линией горизонта и с «точкой схода», для того чтобы изображаемые объекты выглядели как реальные.
…
Как проекция заставляет параллельные прямые пересекаться на горизонте.
Геометрия проективной плоскости исключительно изящна. Через любые две точки можно провести единственную прямую, равно как в эвклидовой геометрии. Но, кроме того, любые две различные прямые пересекаются, причем ровно в одной точке. Параллельных, которые так занимали Эвклида, не существует.
Если это напоминает вам плоскость Фано, то вы совершенно правы. Плоскость Фано — это конечная проективная геометрия.
От перспективы Возрождения до исключительных групп Ли остается теперь только небольшой шаг. Проективная плоскость, которая неявно присутствовала в методах Альберти, явно возникла в новой геометрии. В 1636 году Жирар Дезарг — армейский офицер, позднее ставший архитектором и инженером — опубликовал «Предполагаемый набросок попытки рассматривать результаты пересечения плоскости конусом». Звучит это как название книги о конических сечениях, и книга таковой и была, но вместо использования традиционной греческой геометрии Дезарг использовал проективные методы. В точности как эвклидову геометрию можно превратить в алгебру, используя декартовы координаты (x, y) — пару вещественных чисел, — так и проективную геометрию оказалось возможным превратить в алгебру, если разрешить буквам x или y принимать бесконечное значение (ситуация хитрым способом ставится под контроль таким образом: рассматриваются отношения трех координат и считается, что 1 : 0 = бесконечность).
То, что можно делать с вещественными числами, можно делать и с комплексными, так что у нас появляется комплексная проективная плоскость. А если тут все работает, то почему бы не попробовать кватернионы или октонионы?