Затратив еще немного труда, можно получить характеризацию Гаусса: правильный n-угольник допускает построение, если, и только если, n является степенью двойки или же степенью двойки, умноженной на различные простые числа Ферма.

Остается выяснить, каковы же числа Ферма. Следующим после 3 и 5 идет Гауссово 17. Следующее — 257, а за ним — уже довольно большое число 65 537. Это единственные известные простые числа Ферма. Никто не доказал, что дальнейшие числа Ферма существуют — но никто не доказал и того, что их нет. Насколько нам известно на данный момент, может существовать абсолютно гигантское простое число Ферма, пока не известное человечеству. Согласно знаниям, имеющимся на сегодняшний день, это число составляет по меньшей мере 2 + 1, и этот монстр и в самом деле может оказаться следующим простым числом Ферма. (Показатель степени 33 554 432 сам есть степень числа 2, а именно 225. Все числа Ферма на единицу превосходят двойку, возведенную в степень, являющуюся степенью двойки.) Это число имеет более десяти миллионов знаков. Даже после сделанных Гауссом великих открытий мы все равно не знаем в точности, какие именно правильные многоугольники можно построить, но единственным пробелом в наших знаниях остается вопрос о существовании очень больших чисел Ферма.

Гаусс доказал, что правильный 17-угольник допускает построение, но в действительности не дал описания самого построения, хотя и заметил, что основной шаг состоит в построении отрезка, длина которого равна

Поскольку квадратные корни можно построить всегда, искомое построение скрыто в этом замечательном числе. Первое явное построение осуществил Ульрих фон Югэнен в 1803 году. В 1893 году Герберт Уильям Ричмонд нашел более простой вариант.

В 1832 году Ф. Ж. Ришло опубликовал ряд статей о построении правильного 257-угольника под заголовком De resolutione algebraica aequationis x = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata, который сам уже производит не меньшее впечатление, чем число сторон его многоугольника.

Имеется апокрифическая байка о том, как сверхстарательному аспиранту было предложено построить в своей диссертации 65 537-угольник, после чего тот появился вновь лишь двадцать лет спустя. Реальность почти столь же курьезна: Ж. Эрмес из Лингенского университета посвятил этой задаче десять лет, закончив ее в 1894 году; его неопубликованная работа хранится в Геттингенском университете. К сожалению, Джон Хортон Конуэй — быть может, единственный из математиков нашего времени, когда-либо взглянувший на эти документы, — сомневается, что там все верно.

Глава 9
Пьяный вандал

Уильям Роуэн Гамильтон был величайшим математиком из всех, когда-либо рожденных Ирландией. Он появился на свет, когда часы отбивали полночь с 3 на 4 августа 1805 года, и впоследствии так и не смог окончательно решить, какой же из дней считать днем своего рождения. По большей части он склонялся к 3-му, но на его надгробии указана дата «4 августа», потому что ближе к концу жизни он перешел на эту дату по сентиментальным причинам. Он был блестящим лингвистом, математическим гением и алкоголиком. Он задался целью изобрести алгебру в размерности три, но вместо этого во вспышке озарения, которое вылилось в акт вандализма по отношению к мосту, реализовал то, к чему стремился, в размерности четыре. Он навсегда изменил взгляды человечества на алгебру, пространство и время.

Уильям родился в богатой семье — он был третьим сыном Арчибальда Гамильтона, юриста, голова которого была устроена подходящим для бизнеса образом. У Уильяма была также сестра по имени Элиза. Отец любил пропустить пару-тройку стаканчиков, поэтому некоторое время с ним приятно было находиться в одной компании, однако ближе к вечеру дело поворачивалось обратной стороной медали. Арчибальд ясно выражал свои мысли, был умен и религиозен, и его младший сын унаследовал все его отличительные черты, включая пристрастие к алкоголю. Мать Уильяма Сара Хаттон в умственном отношении не уступала мужу — она происходила из семьи, несшей на себе знаки интеллектуального отличия, однако ее влияние на маленького Уильяма ограничилось по большей части передачей ему своих генов — в трехлетнем возрасте мальчик был отдан в обучение к дяде Джеймсу. Джеймс был викарием и превосходным лингвистом, и его интересы определили основные направления образования Уильяма.

Результаты последовали впечатляющие, хотя и на довольно узком поприще. В пятилетнем возрасте Уильям свободно владел греческим, латынью и древнееврейским. К восьми годам он говорил по-французски и по-итальянски. Два года спустя к списку добавились арабский и санскрит; позднее — персидский, сирийский, хинди, малайский, маратхи и бенгальский. Попытка овладеть китайским провалилась из-за отсутствия подходящих текстов. Джеймс жаловался, что ему «стоило немалых денег поддерживать его из Лондона, но, похоже, деньги были потрачены не зря». Математик и квазиисторик Эрик Темпл Белл («квази», потому что он никогда не позволял неудобному факту испортить хорошую историю) вопрошал: «Для чего все это было нужно?»