Отсюда следует, что настоящая группа симметрии является здесь не просто группой из шести перестановок трех кварков, а тесно связанной с ней непрерывной группой SU(3) — одной из простых групп в списке Киллинга. Преобразования из SU(3) оставляют уравнения для законов природы неизменными, но они могут изменить решения этих уравнений. Используя SU(3), можно, например, «повернуть» протон в нейтрон. Все, что нужно сделать, — это перевернуть все составляющие его кварки вверх ногами, так, чтобы два up и один down стали двумя down и одним up. Мир фермионов имеет SU(3) симметрию, которая действует, меняя один фермион на другой.
Еще две группы симметрии дают вклад в Стандартную Модель. Калибровочные симметрии слабых взаимодействий, образующие группу SU(2), могут заменить электрон на нейтрино. Группа SU(2) — еще одна из списка Киллинга. И доброе старое электромагнитное поле имеет симметрию U(1) — не лоренцеву симметрию уравнений Максвелла, а калибровочную (т.е. локальную) симметрию изменений фазы. Эта группа отсутствует в списке Киллинга потому, что это не SU(1), но морально она там присутствует, поскольку является очень близким родственником.
Электрослабая теория соединила электромагнетизм и слабое взаимодействие путем объединения их калибровочных групп. Стандартная Модель также включает в себя сильные взаимодействия, являясь единой теорией для всех фундаментальных частиц. Делает она это весьма прямолинейно: она просто соединяет все три калибровочные группы вместе, в группу SU(3)?SU(2)?U(1). Эта конструкция проста и непосредственна, но не особо изящна, и именно из-за нее Стандартная Модель напоминает сооружение, построенное из жевательной резинки и куска бечевки.
Предположим, у вас есть мяч для гольфа, пуговица и зубочистка. Мяч для гольфа имеет сферическую симметрию SO(3), пуговица имеет симметрию окружности SO(2), а зубочистка обладает, скажем, просто отражательной симметрией O(1). Можно ли найти некоторый объединенный объект, обладающий всеми этими тремя типами симметрий? Да, можно — просто положите все три в бумажный пакет. Теперь вы можете применять SO(3) к содержимому пакета за счет вращения мяча для гольфа, SO(2) за счет вращения пуговицы, a O(1) — за счет переворачивания зубочистки. Группа симметрии содержимого пакета есть SO(3)?SO(2)?O(1). Стандартная Модель соединяет симметрии таким же образом, только вместо вращений она использует «унитарные преобразования» из квантовой механики. И страдает от того же недостатка: она просто сваливает различные системы в кучу и комбинирует их симметрии очевидным и довольно тривиальным способом.
Гораздо более интересный способ комбинирования трех групп симметрий может состоять в построении чего-то, что содержит те же объекты, но более изящным способом, чем просто в бумажном пакете. Может быть, у вас получится уравновесить зубочистку на мяче для гольфа, а на конце ее прикрепить пуговицу. Или у вас может быть целая система зубочисток, подобная спицам колеса; установите пуговицу на втулку и крутите колесо на мяче для гольфа. Если вы хорошенько исхитритесь, быть может, построенный объект будет обладать огромной симметрией, скажем, группой K(9). (Такой группы нет. Я придумал ее для этого обсуждения.) Группы симметрии SO(3), SO(2) и O(1) по отдельности могли бы при везении оказаться подгруппами в K(9). Это был бы куда более впечатляющий способ объединить мяч для гольфа, пуговицу и зубочистку.
Физики испытывают нечто подобное по поводу Стандартной Модели, и им бы хотелось, чтобы K(9) была чем-то из списка Киллинга или вроде того, потому что Киллинговы группы являются фундаментальными составными частями симметрии. И вот физики изобрели целый ряд теорий Великого Объединения, или ТВО, основанных на группах, подобных SU(5), О(10) и Киллинговой таинственной исключительной группе E. ТВО, по видимости, страдали от того же недостатка, что и теория Калуцы-Клайна, — от отсутствия допускающих проверку предсказаний. Но затем появились по-настоящему интересные предсказания. Они определенно были новыми — настолько, что вероятность того, что они окажутся истинными, казалась невысокой, однако они допускали проверку. Все ТВО предсказывают, что протон можно «повернуть» в электрон или нейтрино. Таким образом, протоны оказываются неустойчивыми, и через длительное время вся материя во вселенной должна распасться, превратившись в излучение. Вычисления показывают, что среднее время жизни протона должно быть около 10 лет, что намного больше возраста вселенной. Но отдельные протоны могут спонтанно распадаться намного быстрее, и если протонов достаточно много, то можно засечь распад.
Большая цистерна с водой содержит более чем достаточно протонов для того, чтобы каждый год несколько из них распадалось. К концу 80-х годов двадцатого века проводились шесть экспериментов с целью зафиксировать распад протона. Самая большая из цистерн содержала более 3000 тонн исключительно чистой воды. Распадов протона зафиксировать не удалось. Ни одного. Что означает, что среднее время жизни составляет по крайней мере 10 лет. Протоны живут по крайней мере в тысячу раз дольше, чем это предсказывают ТВО. ТВО ну никак не могут заставить протон развалиться на части. Оглядываясь назад, следует признать, что если бы распад протона был зафиксирован, это вызвало бы некоторую неловкость, потому что в ТВО отсутствует кое-что очень важное — гравитация.