V. 1. 3. Музыкальная шкала. Еще одним примером квантования может служить разбиение непрерывного частотного диапазона октавы на двенадцать полутонов при помощи показательной функции натурального аргумента # (табл. 2). Как известно, в музыке используются звуки, находящиеся между собой в определенных звуко-высотных отношениях. Выбор их основан на явлениях консонанса и диссонанса.
Совокупность музыкальных звуков образует систему, в которой имеется единство противоположностей, а также консонансов и диссонансов, благозвучий и неблагозвучий при доминировании первых (ибо в противном случае система бы «развалилась»). Существует иерархия консонансов и диссонансов (абсолютный консонанс, совершенный консонанс и т. д.). Абсолютным консонансом характеризуется созвучие, образованное из звуков с равными частотами. Как совершенный консонанс воспринимается созвучие из двух звуков, отличающихся по частоте в два раза. Кратное отношение частот звуков называются музыкальными интервалами. Интервал с отношением частот 2 : 1 именуется октавой.
Именно октава является основой первичного квантования непрерывной частотной шкалы звуков. Если считать, что человек воспринимает звуки в диапазоне 16 — 16 000 Гц, то легко подсчитать, что здесь укладывается приблизительно 10 октав. Таким образом, совершенный консонанс приводит к шкале октав или к шкале удвоения. Все октавы подобны друг другу, каждая обладает относительной целостностью, поэтому дальнейшее рассмотрение ограничим пределами одной октавы.
Шкала удвоения является частным случаем показательной функции, у которой аргумент принимает целочисленные значения. Октава делится на двенадцать равных интервалов, именуемых полутонами. Такой строй называется темперированным. Очевидно, что внутри октавы в этом случае звуки располагаются по показательному закону #, где y — относительная частота звука (величина интервала), k — целое число, изменяющееся в пределах от 0 до 12. На практике величины интервалов несколько отличаются (по разным причинам) от расчетных, но эти различия незначительны, они не превосходят половины процента. Примерно такую степень отклонения величины интервала фиксируют люди с абсолютным звуко-высотным слухом.
Точность музыкальной шкалы значительно выше точности психологических и психофизических шкал. Методической структуре музыкальной шкалы соответствует метрическая структура восприятия музыки. Можно утверждать, что по крайней мере у людей с развитым музыкальным слухом структура слухового восприятия имеет регулярную основу.
—————Картинка стр. 106——
Таблица 2. Метрические отношения музыкальной шкалы
—————————
В табл. 2 приведены абсолютные частоты звуковой октавы для фортепиано, соответствующие им величины реальных интервалов, расчетные величины интервалов (значения функции y), аппроксимация этих значений целочисленными отношениями. Для сравнения приведена нетемперированная шкала музыкальных интервалов, которые вычисляются также как значения показательной функции, но с меньшим основанием, чем у функции y [31].
V, 1. 4. Использование средних. Еще один прием разбиения непрерывного целого на компоненты состоит в использовании семейств уравнений средних величин.
По-видимому, впервые полную систему из десяти средних дал Эратосфен (см. [18]). К. Джини рассматривает систему из 31 средней [46]. Если ввести ограничение a>b>c, то из 31 средней различных окажется только 10. Именно на эти средние указывает Эратосфен. Первые четыре средних порождают числовые ряды. С помощью двух средних (арифметического и гармонического) непрерывный интервал октавы разбивается и получается основной октавный тетраход 1/1 — 4/3 — 3/2 — 2/1 или в целых числах 6 — 8 — 9 -12.
V. 1. 5. Метрические структуры. Исходным для этих структур являются метрические отношения, простейшим видом которых выступает бинарное отношение равенства. Оно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности и является частным случаем отношения эквивалентности, так как базируется на количественном признаке. Равенство противостоит сходству так же как количество противостоит качеству. Равенство — количественное, метрическое отношение, сходство — качественное, топологическое, основанное на понятии близости. Отношению равенства (в количественном измерении) противостоит отношение неравенства, подобно тому как отношению сходства противостоит отношение различия. Для определения отношений равенства или неравенства не требуется процедуры измерения, для этого достаточно сравнения.
В физическом мире существует множество процессов, приводящих к установлению равенства между величинами. При равенстве сил, действующих на физическое тело, оно находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. В поле тяжести оказываются равными уровни жидкости в сообщающихся сосудах, моменты сил, действующих на твердое тело, имеющее ось опоры, и т. д.
Благодаря высокой различительной чувствительности органов чувств человека возможно с большой степенью точности фиксировать равенство по величине самых различных стимулов. Этот факт широко используется в экспериментальной психологии. Многие психофизические и психологические процедуры измерения имеют в соей основе операцию установления равенства по величине двух стимулов. На этом же базируется и широкое распространение шкал интервалов и отношений.