Нетрудно видеть, что при данном преобразовании отношение величины пропорции к величине площади постоянно и равно единице. Это отношение есть инвариант последнего преобразования.
Проанализируем более подробно преобразование раздвоения квадрата на две части. Введем ограничение: пусть требуется разрезать квадрат на две равновеликие части одним прямолинейным отрезком так, чтобы эту операцию можно было повторять сколько угодно раз с получившимися частями. При таком определении преобразования возможны его различные варианты: 1) квадрат разрезаем на два треугольника — изменяется число вершин фигуры, нарушающая равенство и параллельность сторон; 2) квадрат разделяется на две трапеции (неправильных четырехугольника) — сохраняется число углов, нарушается параллельность и равенство сторон; 3) квадрат разрезается на два прямоугольника — сохраняется число вершин и параллельность сторон, нарушается равенство сторон и пропорции фигуры.
Замечание 1. При делении квадрата по меньшей средней линии получается ряд прямоугольников с пропорциями 1/1, 2/1, 1/1, 2/1, … Если за исходный взять прямоугольник с пропорциями 4/3, то при том же преобразовании получаем ряд прямоугольников с пропорциями 4/3, 3/2, 4/3, 3/2, … Нетрудно заметить, что произведение двух соседних чисел в каждом ряду постоянно и в обоих рядах равно двум. То же самое будет верно для любого исходного прямоугольника. Это не удивительно, так как преобразование носит характер раздвоения. Здесь интересно другое: существует один-единственный прямоугольник, пропорции которого при данном преобразовании не изменяются прямоугольник остается подобным самому себе. Отсюда следует, что совмещаются два фундаментальных преобразования: удвоения и подобия. существует удвоение без подобия и подобие без удвоения. Эти два преобразования объединяются при удвоении и сокращении вдвое по меньшей мере средней линии прямоугольника с пропорциями 1/?2.
Замечание 2. Ряды прямоугольников, полученные при данных преобразованиях, можно рассматривать как временные ряды, а инварианты преобразований, как инварианты сохраняющиеся во времени. Можно также рассматривать множество прямоугольников, появившихся в результате преобразований, как одновременно существующие. Тогда инварианты можно рассматривать как инварианты, существующие на множестве (в пространстве) многоугольников. В последнем случае это может быть неупорядоченное множество объектов.
Имеются ли другие геометрические фигуры, остающиеся подобными исходной при последовательном делении на две части? Да. При делении подобную фигуру (обе половинки) дает равнобедренный прямоугольный треугольник. Приблизительно такой же результат получается у кольца: изолированные или вложенные концентрические кольца, соприкасающиеся внутри или касающиеся извне, либо ортогонально сцепленные кольца (рис. 3, Г). Любой прямоугольный треугольник делится на два подобных, но неравных прямоугольника.
В. Раздвоение других математических объектов. Как раздвоение единицы на два взаимообратных сомножителя можно рассматривать равенство 1=а·(1/а), где а — любое действительное число. Такое преобразование неоднозначно. Дополнительные ограничения могут сузить область допустимых для а значений. При а=* (*=1,618…) константа золотого отношения 1/*=0,618…, т. е. взаимообратные числа отличаются на единицу (раздваиваемое число).
Аналогично можно раздвоить единичное преобразование на два взаимо обратных: Е=А·А»-1″, где Е — единичное преобразование, переводящее объект в самого себя; А — преобразование рассматриваемого класса объектов. Примерами могут служить дифференцирование и интегрирование, левый и правый повороты, логарифмическая и показательная функции и др.
Подобным же образом произведем раздвоение функции. В математике не существует единичной функции, подобно единичному преобразованию, но существуют взаимные функции. Графики взаимообратных функций симметричны относительно биссектрисы первого квадранта в декартовой системе координат. Уравнение этой биссектрисы y=x. Данную функцию и будем называть единичной. В результате ее «раздвоения» всегда будут получаться взаимообратные функции y=f(x) и x=f(y).
Особым случаем раздвоения единого (Е) являет выделение из него относительно целой, далее неделимой части (Н) и части, подверженной дальнейшему аналогичному делению (Д):
————Картинка 1 стр. 35——-
—————————
Примерами могут служить бинарные ассиметричные систематики (корректирующие коды. темпераменты и т. д.). Математической моделью такого раздвоения является, в частности, цепная дробь, с помощью которой представляется число *:
—————Картинка 2 стр. 35—
————————-
II. 2. 5. Раздвоение понятий и множеств понятий. Дихотомия — это деление объема понятия на два класса. исчерпывающих весь объем делимого понятия. Дихотомии строятся по двум схемам: А и не-А и А — В. Каждому из двух классов соответствуют понятия, которые могут находится в логических отношениях отрицания или дополнительности. В реальной действительности отношения между компонентами диалектической пары не исчерпываются отношениями отрицания и дополнения, они носят более разнообразные и диалектический характер. По определения дихотомическая пара представляет собой полный набор понятий. Вместе с родовым понятием они образуют элементарную простейшую иерархию. Здесь представляют интерес такие вопросы: