В родственных отношениях с Алексеем Николаевичем, по отцу и по матери, находится целый ряд других выдающихся русских деятелей науки: И. М. Сеченов — знаменитый основатель русской физиологической школы; академик Б. М. Ляпунов — крупный специалист по славянской филологии; Н. Ф. Филатов — известный московский профессор детских болезней и профессор глазных болезней В. П. Филатов.
В детстве резвый, шаловливый Алеша управлялся с топором, который подарил ему отец, лучше, чем с букварем. Он рос в непосредственной близости к природе. Ходил со взрослыми на охоту. Часто ездил с многочисленными родственниками по волжским степям и Волге.
Когда А. Н. Крылову исполнилось девять лет, отец его, желая поправить свое здоровье, решил переехать на юг Франции. Поместье было продано, и семья поселилась в Марселе, где прожила два года. Здесь в частном пансионе, приближавшемся по типу к коммерческому училищу, мальчик основательно познакомился с французским языком и арифметикой. После возвращения в Россию в Севастополе он знакомится с моряками, героями славной обороны Севастополя. В 1878 году А. Н. Крылов поступил в младший приготовительный класс Петербургского морского училища, блестяще выдержав вступительные экзамены. В то время под руководством контр — адмирала А. П. Епанчина Морское училище было передовым учебным заведением, имеющим отличный состав преподавателей.
А. Н. Крылов свое свободное время посвящал изучению математических наук в объеме университетского курса. Здесь пришло на помощь счастливое обстоятельство. Дядя Алексея Николаевича — Александр Михайлович Ляпунов, ученик знаменитого русского математика П. Л. Чебышева и в будущем сам знаменитый математик, в то время готовился к сдаче в Петербургском университете магистерского экзамена и готовил свою знаменитую магистерскую диссертацию. Он оказал большое влияние на молодого А. Н. Крылова и руководил его математическими занятиями. Многие математические идеи, которые П. Л. Чебышев высказывал на своцх лекциях и в беседах со своими учениками, доводили до Алексея Николаевича через А. М. Ляпунова. Поэтому с полным правом А. Н. Крылова можно причислить к ученикам самого П. Л. Чебышева.
Неудивительно поэтому, что по своим знаниям молодой А. Н. Крылов превосходил даже некоторых преподавателей училища. В 1884 году он окончил Морское училище и был произведен в мичманы с награждением премией и с занесением его имени на мраморную доску.
По окончании Морского училища А. Н. Крылов был прикомандирован к известному нашему специалисту по компасному делу И. П. Коллонгу, работавшему в Главном гидрографическом управлении и уже раньше обратившему внимание на блестящие успехи А. Н. Крылова. Про Коллонга, фанатика компасного дела, во флоте в шутку говорили: «Коллонг считает, что корабли строятся для того, чтобы было на чем устанавливать компасы». Под его руководством А. Н. Крылов выполнил свои первые научные работы, приобрел прочные навыки в вычислениях — навыки, которые он с тех пор не переставал развивать, совершенствовать и передавать другим. Дело в том, что на показания корабельных компасов часто оказывало влияние железо. Практическое значение исследований А. Н. Крылова моряки смогли оценить после гибели двух пассажирских пароходов у берегов Ирландии в 1862 году. Расследование катастрофы, унесшей более двухсот жизней, показало, что эти пароходы наскочили в тумане на берег, полагаясь на искаженные показания компаса. А. Н. Крылов решил эту проблему и вывел русское компасное дело на первое место в мире.
А. Н. Крылов, посвятив компасу свои первые научные работы, вернулся к этим вопросам более чем через пятьдесят лет — накануне Великой Отечественной войны 1941–1945 годов. Он исследовал теорию гироскопического компаса, который стал соперником магнитного компаса на морских и воздушных кораблях. Гироскопический компас основан на принципе волчка, т. е. тела, быстро вращающегося вокруг оси. Волчок можно сконструировать так, что эта ось, подобно магнитной стрелке, будет сохранять неизменное положение в пространстве, независимое от перемещения корабля. С осью можно соединить стрелку, которая будет направлена на север все время, пока поддерживается вращение волчка. Первый прибор такого типа, под именем гироскопа, был изобретен французским физиком фуко в 1852 году. Практическое же применение гироскоп получил лишь в XX веке.
В последних своих работах по компасному делу А. Н. Крытое разработал чрезвычайно важную теорию влияния качки корабля на показания компаса.
Добившись на первых же порах своей научной деятельности значительных успехов, молодой ученый не захотел ограничиваться этой сравнительно узкой областью знания. Его привлекали теория корабля и кораблестроение вообще как «обширное поле для применения математики».
Корабль — даже самой совершенной постройки — может оказаться беззащитной скорлупкой во время бури среди необъятных просторов океана. Тысячи опасностей угрожают кораблю, начиная с того момента, когда его спускают на воду. История кораблестроения знает многочисленные примеры того, как великолепнейшие корабли гибли при спуске на воду, при испытаниях, при ремонте, не говоря уже о случаях гибели в открытом море, во время тумана, бури, в бою.