Самый знаменитый парадокс Зенона — «Ахиллес и черепаха» — тоже связан с бегом. По Зенону, быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху (которой, в силу ее медлительности, при старте дана была фора): пока он добежит до места, с которого рептилия начала движение, она тоже проползет немного вперед, и Ахиллесу придется теперь преодолевать это дополнительное расстояние; но пока он сделает это, черепаха вновь уйдет вперед — и так далее.
Многие парадоксы Зенона обсуждаются и в наши дни. Такой живучести способствовал интерес к ним Аристотеля, который ввел понятия «актуальной» и «потенциальной» бесконечности и доказывал, что смысл имеет только потенциальная бесконечность. Например,
длину беговой дорожки стадиона можно делить на бесконечное множество частей — в том смысле, что, на сколько бы частей она ни была поделена, теоретически всегда можно делить еще и еще, но не в том смысле, что ее действительно, в реальности, можно разделить на бесконечное множество частей; то есть бесконечность этих частей «потенциальна», но не «актуальна».
На протяжении более чем двух тысячелетий это была ортодоксальная дихотомия, в рамках которой помещалась концепция бесконечности. Только с появлением во второй половине XIX века работ немецкого математика Георга Кантора математики нашли способ «приручить» бесконечность, выразить ее в более или менее понятных терминах.
Кантор, обращаясь все к той же аристотелевой дихотомии, доказывал, что существует актуальная бесконечность, а не только потенциальная. По Кантору, два бесконечных множества равны между собой, если их элементы образуют пары с отношением один к одному. Так, например, бесконечное множество 1, 2, 3,4, 5,… равно по величине бесконечному множеству 1, 5, 10, 15, 20,…, потому что элемент 1 образует пару с элементом 1, элемент 2 — с элементом 5, элемент 3 — с элементом 10 и так далее. Подобное соотношение один к одному позволяет справиться с некоторыми трудностями и загадками бесконечности. В частности, Кантор считал, что ему удалось показать возможность строгого математического подхода к актуальной бесконечности.
Мы будем Вам очень признательны, если Вы оцените данную книгуили оставить свой отзыв на странице комментариев.
Оказалось, однако, что и этот подход порождает парадоксы. Один из них выявил Бертран Рассел, приводивший в качестве примера роман Лоренса Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена». В романе Шенди описывает первые два дня своей жизни, на что у него уходит два года. Он беспокоится, что с такими темпами никогда не закончит автобиографию. Рассел утверждал, что если применить здесь подход Кантора, то, как ни странно, получится, что если Тристрам Шенди будет жить вечно, то в летописи его жизни не будет упущен ни один день. Если, начиная со дня, когда ему исполнилось двадцать, Шенди в течение двух лет трудился над описанием первых двух дней своей жизни, то, когда ему исполнится двадцать два, он приступит к описанию следующих двух дней, когда исполнится двадцать четыре — следующих двух дней и так далее. Разумеется, отставание по времени будет все больше и больше; но отношение один к одному сохранится: каждому дню его жизни будет соответствовать один период автобиографической деятельности:
20—21 год
22—23 года
24—25 лет
дни 1—2 дни 3—4 дни 5—6
Получается, что бессмертный Тристрам Шенди способен описать все до единого дни своей жизни.
В 1946 году вопрос о том, существует ли наряду с «потенциальной» бесконечностью «актуальная», был вполне животрепещущим — и известно, что в аудитории НЗ он тоже прозвучал.
20 Владельцы трущоб и предмет отвращения
Помню, после одного особенно нелепого доклада в Клубе моральных наук Витгенштейн воскликнул: «С этим необходимо покончить! Плохие философы подобны владельцам трущоб, сдающим внаем грязные углы. Я обязан покончить с этим бизнесом». Морис О’КоннорДрури
notes
1
Характерный для конца XIX в. -Прим. ред
2
Популярная песня Дина Мартина. — Примеч. пер.
3
Цит. по: Людвиг Витгенштейн: человек и мыслитель. М: Издательская группа «Прогресс», «Культура», 1993. С. 25.
4
Там же. С. 34
5
Цит. по: Людвиг Витгенштейн: человек и мыслитель. М.: Издательская группа «Прогресс», «Культура», 1993. С. 58.
6
Wisdom в переводе с английского — «мудрость». — Примеч. пер
7
Пер. Сергея Шоргина.
8
Пер. Н. Пушешникова, под ред. И. Бунина (Тагор Р. Собр. соч.: В 12 т. Т. 12: Воспоминания, письма, стихи. М.: Худож. лит., 1965. С. 300).
9
Здесь и далее — перевод Сергея Шоргина.
10
Игра слов: ответ можно понять и как «апельсиновый джем», и как «мама меня положила». — Примеч. пер.
11
Пер. М. Козловой.
12
Вордсворт У. Одинокая жница. (Пер. И. Ивановского). Мы будем Вам очень признательны, если Вы оцените данную книгуили оставить свой отзыв на странице комментариев.